私はuser17410と同等の定式化を使用します。
入力：ベクトル over、は入力の一部です
質問：2つの異なるサブセットがあり、
n{ 0 、1 } N N A 、B ⊆ X Σ X ∈ A X = Σ X ∈ B XX={x1,…,xm}{0,1}nn
A,B⊆X
∑x∈Ax=∑x∈Bx
硬度の証明には、標準の等式部分集合の問題の硬度を証明するために使用されるのと同じ「チェーン」に従う多くの中間的な減少が含まれます。
X3CサブセットSUMパーティション EVEN-ODDパーティション EQUAL SUBSET SUM≤ ≤ ≤≤≤≤≤
（私はまだチェックしていますので、間違っているかもしれません:)
ステップ1
次の問題（0-1 VECTOR SUBSET SUM）はNP完全です：与えられ 、上のベクトルとターゲット和ベクトルが決定しますような
がある場合：証明：3-SETSによるEXACT COVER BYからの直接還元（X3C）：要素のセットと収集の三つの要素の部分集合我々構築0-1 VECTOR SUMインスタンス設定対応の場合に限りの要素X I { 0 、1 } N T A ⊆ X ΣX={x1,…,xm}xi{0,1}ntA⊆XNY={Y1、。。。、YN}C、MC={C1、。。。、Cm}xi
∑x∈Ax=t
nY={y1,...,yn}CmC={C1,...,Cm}J C 、I T = [ 1 、1 、。。.1 ]xi[j]=1j含まれてます。。
Cit=[1,1,...1]
STEP 2
検索二つの等しい和サブセット間の 0-1ベクター上、二つの等しい和サブセット発見に相当する有界サイズの要素を有するベクトルをここで、固定するための。m {A,Bm A 、Bは、xは1。。。x m m a x { x i } = O （（m n ）k）k{0,1}nA,Bx1...xmmax{xi}=O((mn)k)k
たとえば、ベクトルのセット：
x1 2 1 0 1
x2 1 2 3 1
0-1ベクトルと同等です：
x1 1 1 0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 0 0 0
^ ^
+-- 0 elsewhere
x2 1 1 1 1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 1 1 1
^ ^ ^
+-- 0 elsewhere
非公式には0〜1のベクトルがグループ化され（x2グループの1つのベクトルを選択してサブセット追加すると、他の2つをに含め、最後をサブセット入れます）、合計が行われます単項（これが、対応する非バイナリベクトルがに関して多項式で区切られた要素を含まなければならない理由です）。A B m nAABmn
したがって、次の問題はNP完全です。
ステップ3
次のような問題（0-1 VECTORパーティション所与：）NP完全である 、上ベクトルかどうかを判断 2つのサブセットに分割することができますよう
xはI { 0 、1 } nは X B 1、B 2 Σ のx ∈ B 1、X = Σ X ∈ B 2 XをB={x1,…,xm}xi{0,1}nXB1,B2
∑x∈B1x=∑x∈B2x
証明：0-1
ベクトル合計からの削減：とターゲット合計ベクトル与えられた 場合; 聞かせて、我々はに追加する以下のベクター：と ： 。t S = ∑ x i X b ′ = − t + 2 S b ″ = t + SX={x1,…,xm}tS=∑xiXb′=−t+2Sb′′=t+SB=X∪{b′,b′′}
（）ようなが存在すると仮定します。我々が設定とを。我々は
A ⊆ X Σ X ∈ A、X = T B 1 = A ∪ { B ' } B 2 = B ∖⇒A⊆X∑x∈Ax=tB1=A∪{b′}Σ X ∈ B 1 = B ' + Σ X ∈ A x = t − t + S = 2 SB2=B∖B1=X∖{A}∪{b′′}
∑x∈B1=b′+∑x∈Ax=t−t+S=2S
∑x∈B2=b′′+∑x∈X∖Ax=b′′+S−∑x∈Ax=2S
（）と合計が等しいと仮定します。両方が同じセットに属することはできません（そうでなければ、それらの合計はあり、他のセットの要素によって「バランス」を取ることはできません）。その仮定。我々は持っています：B 1 B 2 B '、B " ≥ 3 SのB ' = - T + 2 S ∈ B 1⇐B1B2b′,b′′≥3Sb′=−t+2S∈B1
−t+2S+∑x∈B1∖{b′}x=t+S+∑x∈B2∖{b′′}x
したがって、でなければならず、は0-1 VECTOR SUMの有効なソリューションです。B 1 ∖ { B ' }∑x∈B1∖{b′}x=tB1∖{b′}
セットには0〜1のベクトルのみが許可されるため、ステップ2に示すようにベクトルは「単項で表現」する必要があります。B "、B "Bb′,b′′
ステップ3
ベクトルがから番号付けされ、2つのサブセットサイズが等しくなければならず、にのための（SO、等しいサイズの制約により、対の他方の要素が中に含まれていなければならない）（0-1 VECTOR偶奇PARTITION）。x1,...,x2nX 1 X 2 I - 1、X 2 、I 1 ≤ I ≤ N X 2X1,X2X1x2i−1,x2i1≤i≤nX2
証明：：削減は0-1 VECTOR PARTITIONからであり、PARTITIONからEVEN-ODD PARTITIONへの削減に類似しています。もしであるベクター上上の2つのベクターを用いて、各ベクトルを置き換える。M { 0 、1 } nは { 0 、1 } 2 N + 2 MX={x1,...,xm}m{0,1}n{0,1}2n+2m
1 2 n
--------------------
x_i b_1 b_2 ... b_n
becomes:
1 2 ... 2i ... 2m
--------------------------
x'_2i-1 0 0 ... 1 ... 0 b_1 b_2 ... b_n 0 0 ... 0
x'_2i 0 0 ... 1 ... 0 0 0 ... 0 b_1 b_2 ... b_n
起因する要素、ベクトル及び同じサブセットに含まれることができません。0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITIONの有効なソリューションは、元の0-1 VECTOR PARTITIONの有効なソリューションに対応します（すべてのベクトルを含むソリューションの各ベクトルの要素2m + 1..2m + nを選択するだけです）それらの位置にゼロ）。2ix′2i−1x′2i
ステップ4
0-1 VECTOR EQUAL SUBSET SUM（問題の問題）はNP完全です：0-1 VECTOR EVEN-ODD PARTITIONからの減少は、ゲルハルトJ. 、Zhongliang Yu、等サブセット和問題について：上のベクトルのの順序セットが与えられると、上のベクトルのを設定します。A={x1,...,x2m}2m{0,1}nY3m{0,1}2m+n
すべてのベクトルについては、我々は、ベクター構築以上、このように：x2i−1,1≤i≤my2i−1{0,1}2m+n
1 2 ... i i+1 ... m m+1 m+2 ... m+i ... 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
0 0 ... 2 0 ... 0 0 0 1 0 x_{2i-1}
すべてのベクトルについては我々は、ベクター構築オーバー、このように：x2i,1≤i≤m−1y2i{0,1}2m+n
1 2 ... i i+1 ... m m+1 m+2 ... m+i ... 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
0 0 ... 0 2 ... 0 0 0 1 0 x_{2i}
我々は、要素マップにx2m
1 2 ... ... m m+1 m+2 ... . 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
2 0 ... ... 0 0 0 1 x_{2m}
最後に、ダミー要素を追加します。m
1 2 ... ... m m+1 m+2 ... ... 2m 2m+1 ... 2m+n
------------------------------------------------------
4 0 ... ... 0 0 0 0 0 ... 0
0 4 ... ... 0 0 0 0 0 ... 0
...
0 0 ... ... 4 0 0 0 0 ... 0
繰り返しますが、を値を含むベクトルは、STEP 2で示したような0〜1のベクトルのグループを使用して「単項」で表すことができます。>1
Y 1、Y 2 XYに偶奇パーティションがある場合にのみは等しい合計を持つ2つの互いに素なサブセットがあります。 Y1,Y2X