線形独立フーリエ係数

ベクトル空間の基本的な性質は、ベクトル空間ということである$V \subseteq \mathbb{F}_2^n$次元のによって特徴付けることができるであり、存在する-線形独立線形制約が線形独立なベクトルが直交している。、D 、D 、W 1、... 、W D ∈ F N 2$n-d$$d$$d$$w_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^n$$V$

フーリエ変換の観点から、これは、インジケータ関数と言うと等価であるのしている線形独立非ゼロのフーリエ係数を。は合計で非ゼロフーリエ係数がありますが、それらのうちだけが線形独立であることに注意してください。 V $1_V$$V$$d$ 2 d$1_V$$2^d$$d$

このベクトル空間のプロパティの近似バージョンを探しています。具体的には、次の形式のステートメントを探しています。

LETサイズである。次に、インジケータ機能有するせいぜい線形独立絶対値が少なくともあるフーリエ係数。 2 N - D 1 S D ⋅ ログ（1 / ε $S \subseteq \mathbb{F}_2^n$$2^{n-d}$$1_S$$d\cdot\log(1/\varepsilon)$ $\varepsilon$

この質問は、「構造対ランダム性」の観点から見ることができます-直感的に、このような主張は、すべての大きなセットがベクトル空間と小さなバイアスされたセットの合計に分解できることを示しています。すべての関数は、大きなフーリエを持つ「線形部分」に分解できることがよく知られています係数、および小さなバイアスを持つ「疑似ランダム部分」。私の質問は、線形部分が線形独立フーリエ係数の対数のみを持っているかどうかを尋ねます。p o l y（1 / ε $f:\mathbb{F}_2^n \to \mathbb{F}_2$$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$

以下は反例ではありませんか？

ましょうの大部分であるX 1、... 、xは1 / ε 2を、サイズのセットの指標である2 N / 2、そうD = 1。しかし、F（{ I } ）= Θ （ε ）のための1 ≤ I ≤ 1 / ε 2、あなたが持っているので、1 / ε $f(x)$$x_1, \ldots, x_{1/\epsilon^2}$$2^n/2$$d = 1$$\hat{f}(\{i\}) = \Theta(\epsilon)$$1 \le i \le 1/\epsilon^2$$1/\epsilon^2$ 線形に独立した大きなフーリエ係数。

おそらく「チャンの補題」または「タラグランドの補題」と呼ばれることもあるでしょう...ここで「レベル1不等式」と呼ばれます：http ://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

これは、場合ことを意味する平均有する2 - D次いで、最小二乗である線形独立フーリエ係数の数γ 2 - dは最大であるO （D / γ 2）。（これは、入力のF 2線形変換は平均を変更しないため、線形独立フーリエ文字を常に次数1に移動できるためです。）$1_S$$2^{-d}$$\gamma 2^{-d}$$O(d/\gamma^2)$$F_2$