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線形代数は、ベクトル空間と線形変換を扱います。

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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
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mを法とする行列式
（法とする剰余環）の係数を持つ整数行列の行列式を計算するための既知の効率的なアルゴリズムは何ですか。数値は素数ではなく、複合で可能性があります（したがって、計算はフィールドではなくリングで実行されます）。 mmZmZm\mathbb{Z}_mmmmmmm 私が知る限り（以下を参照）、ほとんどのアルゴリズムはガウス消去法の修正です。問題は、これらの手順の計算効率についてです。 何らかの異なるアプローチがあることが起こった場合、私はそれにも興味があります。 前もって感謝します。 更新： この質問の原因を説明しましょう。は素数であると仮定します。したがって、はフィールドです。この場合、未満の数値を使用してすべての計算を実行できるため、数値のすべての操作に優れた上限があります：加算、乗算、反転---ガウス消去法を実行するために必要なすべての操作。Z m mmmmZmZm\mathbb{Z}_mmmm 一方、が素数ない場合、一部の数値の反転を実行できません。したがって、行列式を計算するにはいくつかのトリックが必要です。mmm そして今、私は仕事をするための既知のトリックは何であり、そのようなトリックは本や論文で見つけることができるかどうかに興味があります。
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時間で行列積検証を実行できる最も一般的な構造は何ですか？
1979年、Freivaldsは、任意のフィールドでの行列積の検証がランダム化された時間で行えることを示しました。より正式には、フィールドFからのエントリを持つ3つの行列A、B、およびCが与えられた場合、AB = Cがランダム化されたO （n 2）時間アルゴリズムを持つかどうかをチェックする問題。O （n2）O(n2)O(n^2)O （n2）O(n2)O(n^2) 行列を乗算するための最速の既知のアルゴリズムはこれよりも遅いため、これは興味深いです。したがって、AB = CであるかどうかのチェックはCの計算よりも速いです。 行列積の検証がまだ時間（ランダム化）アルゴリズムを持っている最も一般的な代数構造は何かを知りたいです。元のアルゴリズムはすべてのフィールドで機能するため、すべての積分ドメインでも機能すると思います。O （n2）O(n2)O(n^2) この質問に対する最良の答えは、「パス、マトリックス、および三角形の問題間のサブキュービック等価性」で、「リング上のマトリックス製品検証はランダム化時間[BK95]で実行できます」でした。（[BK95]：M. BlumおよびS. Kannan。 彼らの仕事をチェックするプログラムの設計。J。ACM、42（1）：269–291、1995.）O （n2）O(n2)O(n^2) まず、リングは、この問題がランダム化アルゴリズムを持つ最も一般的な構造ですか？第二に、[BK95]の結果がすべてのリングでO （n 2）時間アルゴリズムをどのように示すかを見ることができませんでした。誰かがその仕組みを説明できますか？O （n2）O(n2)O(n^2)O （n2）O(n2)O(n^2)
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十分な大きさのアフィン部分空間で定数ではないブール関数
明示的なブール関数fに興味があります：f:0,1n→0,1f:0,1n→0,1f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}次のプロパティを使用しますアフィン部分空間でfが一定の場合fff、この部分空間の次元は o （n ）です。0,1n0,1n\\{0,1\\}^no(n)o(n)o(n) 部分空間A =を考慮することにより、対称関数がこの特性を満たさないことを示すことは難しくありません。A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=x∈0,1n∣x1⊕x2=1,x3⊕x4=1,…,xn−1⊕xn=1A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}。任意正確たN / 2 1の、ひいてはF定数が部分空間であるA寸法のN / 2。x∈Ax∈Ax \in An/2n/2n/2 111fffAAAn/2n/2n/2 クロスポスト：https : //mathoverflow.net/questions/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen
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Strassenアルゴリズムでのマトリックスの選択の背後にある大きな画像
Strassenアルゴリズムでは、2つの行列とBの積を計算するために、行列AとBは2 × 2ブロック行列に分割され、アルゴリズムは単純な8ブロック行列ではなく、7ブロック行列-行列積を再帰的に計算します。行列積、すなわち、我々は場合はC = A B、 A = [ 1 、1 A 1 、2 A 2 、1 A 2 、2AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}AA\mathbf{A}BB\mathbf{B}2 × 22×22 \times 2777888C = A BC=AB\mathbf{C}=\mathbf{A} \mathbf{B} 次に、我々は C 1 、1 = A 1 、1件のB 1 、1 + A 1A = [ A1 、1A2 、1A1 、2A2 、2] 、 B …
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同様の行列
2つの行列および与えられた場合、B = P ^ {-1} APとなるような置換行列Pが存在するかどうかを決定する問題は（グラフ同型）と同等です。しかし、Pを緩和して単なる可逆行列にした場合、その複雑さはどうなりますか？この問題や他の困難な問題に関連する順列以外に、可逆行列Pに他の制限はありますか？n × nn×nn \times nAAABBBPPPB = P− 1A PB=P−1APB = P^{-1}APGIPPPPPPGI
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順列関連付けられた2つの行列-複雑さ
次の問題の計算の複雑さは何ですか： 与えられた2つの複素行列とは、ような 置換行列があるかどうかをチェックしn × nn×nn\times nAAABBBPPPB = PA PT。B=PAPT。B = P A P^T. 役立つ場合は、とがエルミート（またはとが実対称である）であると想定できます。AAABBBAAABBB ノート： この問題は、2つのベクトルのセットがユニタリ回転によって関連付けられているかどうかを確認することに起因しています。回転によって関連付けられたベクトルのセット-MathOverflowを参照してください。そのコンテキストでは、とはそれらのグラミアン行列です。AAABBB この問題は、少なくともグラフ同型問題と同じくらい難しいですとを隣接行列として取ります。BAAABBB
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線形ディオファンチン方程式をおよそ解く
次の問題を考慮してください。 入力：超平面、ベクトルで与えられるおよび（標準バイナリ表現）。H = { Y ∈ R N：T 、Y = B } ∈ Z N B ∈ ZH={y∈Rn:aTy=b}H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}a∈Zn\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^nb∈Zb \in \mathbb{Z} 出力：X ∈ Z N = argを分D （X、H ）x∈Zn=argmind(x,H)\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H) 上記の表記では、およびはとして定義されます、つまり、点の集合と単一の点の間の自然なユークリッド距離。D （X、S ）d(x,S)d(\mathbf{x}, S)のx …
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行列乗算指数
口語、マトリックス乗算指数の定義ωω\omega既知が存在するために最小値であるnωnωn^{\omega}行列乗算アルゴリズムは。これは正式な数学的定義としては受け入れられないので、技術的な定義は、n tに行列乗算アルゴリズムが存在するような全体にわたる無限大のようなものだと思います。tttntntn^t この場合、我々は、中のマトリックス乗算のためのアルゴリズムが存在すると言うことはできませんnωnωn^{\omega}あるいはnω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}全てに対して単にこと、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0アルゴリズムがに存在するnω+ϵnω+ϵn^{\omega + \epsilon}。マトリックス乗算は単に彼らのコストを報告します使用多くの場合、しかし、論文や結果O(nω)O(nω)O(n^{\omega})。 この使用を許可する代替定義はありωω\omegaますか？時間またはアルゴリズムが存在することを保証する結果はありますか？または、使用法単にずさんですか？nωnωn^{\omega}nω+o(1)nω+o(1)n^{\omega + o(1)}O(nω)O(nω)O(n^{\omega})
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スパースウォルシュアダマール変換
ウォルシュ-アダマール変換（WHT）は変換フーリエ変換の一般化であり、寸法の実数または複素数のベクトルに直交変換であり。変換は量子コンピューティングで一般的ですが、Johnson-Lindenstrauss Lemmaの証明で使用するための高次元ベクトルのランダム射影の一種の前提条件として最近研究されました。その主な特徴は、正方形のd × d行列ですが、時間O （d logのベクトルに適用できることです。d=2md=2md = 2^md×dd×dd\times d（よりむしろ D 2 FFTのような方法によって）。O(dlogd)O(dlog⁡d)O(d \log d)d2d2d^2 入力ベクトルがあるとしスパース：それはほんの数ゼロ以外のエントリ（たとえばを持つ ）。時間におけるWHT計算する方法があるF （R 、D ）ように、F （D 、D ）= O （DのログD ）及び F （R 、D ）= O （DのログD ）のための、R = oは（d ） ？r≪dr≪dr \ll df(r,d)f(r,d)f(r,d)f(d,d)=O(dlogd)f(d,d)=O(dlog⁡d)f(d,d) = O(d \log d)f(r,d)=o(dlogd)f(r,d)=o(dlog⁡d)f(r,d) = o(d \log d)r=o(d)r=o(d)r = o(d) 注：これらの要件は、小さなrに対してよりも高速に実行するものが欲しいという考えを形式化する1つの方法にすぎません。dlogddlog⁡dd \log …
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有限体の線形システムを解くためのRaghavendraのアルゴリズムのステータス
2012年、リプトンは、 Prasad Raghavendraによる有限体上の線形システムを解くための新しいアルゴリズムに関するブログエントリを書きました。 トピックに関するRaghavendraのドラフトペーパーへのリンクは現在無効になっています。RaghavendraのWebサイトでこのテーマに関する情報は見つかりません。 結果は正しいですか？記事はどこでも入手できますか？ ありがとう！
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2つのポリトープの等価性の確認
変数のベクトルを検討、および一連の線形で指定された制約A → X ≤ bは。x⃗ x→\vec{x}Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b さらに、2つのポリトープを検討します P1P2={(f1(x⃗ ),⋯,fm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}={(g1(x⃗ ),⋯,gm(x⃗ ))∣Ax⃗ ≤b}P1={(f1(x→),⋯,fm(x→))∣Ax→≤b}P2={(g1(x→),⋯,gm(x→))∣Ax→≤b}\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*} ここで、およびgはアフィンマッピングです。つまり、彼らは形式です→ C ⋅ → X + D。（私たちは、ことに注意してP 1およびP 2は、彼らは、ポリトープの「アフィンマッピング」であるため、ポリトープあるA → X ≤ B。）fffgggc⃗ ⋅x⃗ +dc→⋅x→+d\vec{c}\cdot \vec{x} +dP1P1P_1P2P2P_2Ax⃗ ≤bAx→≤bA\vec{x}\leq b 問題は、とP 2がセットとして等しいかどうかをどのように判断するかです。複雑さは何ですか？P1P1P_1P2P2P_2 この問題の原因はセンサーネットワークにありますが、それは素敵な（おそらく基本的な）ジオメトリの問題のようです。おそらくとP 2のすべての頂点を列挙することにより、exptimeでこれを解決できますが、より良いアプローチはありますか？P1P1P_1P2P2P_2
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行列乗算の計算の複雑さ
長方形行列の行列乗算の計算の複雑さに関する情報を探しています。ウィキペディアは、との乗算の複雑さはO （m n p ）（教科書の乗算）であると述べています。 B ∈ R N × PA∈Rm×nA∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n}B∈Rn×pB∈Rn×pB \in \mathbb{R}^{n \times p}O(mnp)O(mnp)O(mnp) 私はケース持ってとnがよりはるかに小さいPを、と私は、リニアよりも良い複雑さを得るために期待していたPへの依存することを犠牲に、M及びnは、線形よりも悪いし。mmmnnnppppppmmmnnn 何か案は？ ありがとう。 注：私がそれを可能にしたい理由は、m = n = pの場合（行列がすべて正方形の場合）立方依存性が少ないというよく知られた結果のためです。pppm=n=pm=n=pm=n=p
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Parity-LからCNOT回路へのログスペースの削減？
質問。 彼らの論文の改善安定化回路のシミュレーション、アーロンソンとCNOT回路をシミュレートすることであることをGottesman請求⊕Lの（ログ・スペースの削減下）-complete。itLに含まれていることは明らかです。硬さの結果はどのように保持されますか？ 同等： 2を法とする反復行列積から2を法とする要素行列（行変換を実現する可逆行列）の反復積への対数空間の縮小はありますか？ 詳細 制御NOT（又はCNOT）動作形式で、可逆ブール演算である ここで、j 番目の ビットのみが変更され、そのビットは、任意の異なる位置hおよびjに対して、 x hモジュロ2を追加することによって変更されます。x = （x 1と解釈すれば、見づらいことではありません。CNOTh,j(x1,…,xh,…,xj,…,xn)=(x1,…,xh,…,xj⊕xh,…,xn)CNOTh,j(x1,…,xh,…,xj,…,xn)=(x1,…,xh,…,xj⊕xh,…,xn) \mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n) xhxhx_h ℤ/2ℤ上のベクトルとして、これは2を法とする基本行変換に対応します。これは、対角線に1を持ち、対角線以外の位置にある行列で表すことができます。CNOT回路は、このタイプのいくつかの基本行列の積からなる行列積です。x=(x1,…,xn)x=(x1,…,xn）\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n) 前述のAaronsonとGottesmanの論文（この質問には非常に偶然ですが、⊕Lでシミュレートできる量子回路のクラスに関するもの です）には、計算の複雑さに関するセクションがあります。このセクションの始めに向かって、彼らは⊕Lを次のように説明します。 ⊕Lは、非決定論的対数空間チューリングマシンによって解決可能なすべての問題のクラスであり、受け入れパスの総数が奇数の場合にのみ受け入れます。しかし、おそらく非コンピューター科学者にとってより直感的な別の定義があります。これは、⊕Lが多項式サイズのCNOT回路、つまり 初期状態| 0 ...0⟩に作用するNOTおよびCNOTゲートのみで構成される回路のシミュレーションに帰着する問題のクラスであるということです。（2つの定義が同等であることを示すのは簡単ですが、これには通常の定義が何を意味するかを最初に説明する必要があります！） この記事の対象読者には、かなりの数の非コンピューター科学者が含まれていたので、脱退したいという希望は無理ではありません。この等価性がどのように成り立つかを誰かが明らかにできることを願っています。 明らかに、そのような行列の積をシミュレートすることで行うことができる⊕Lための反復行列積の係数（ログ・スペースの削減下で）完全問題である（MOD 2）、評価の特殊な場合として⊕L。さらに、CNOTマトリックスは基本的な行操作を実行するだけなので、任意の可逆マトリックスをCNOTマトリックスの積として分解できます。しかし、可逆行列mod 2を対数空間削減によって CNOT行列の積に分解する方法を私にどのように理解するかは明確ではありません。（実際、コメントでEmilJekábekが指摘したように、ガウス消去法は行列式mod …
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