同様の行列

2つの行列および与えられた場合、B = P ^ {-1} APとなるような置換行列Pが存在するかどうかを決定する問題は（グラフ同型）と同等です。しかし、Pを緩和して単なる可逆行列にした場合、その複雑さはどうなりますか？この問題や他の困難な問題に関連する順列以外に、可逆行列Pに他の制限はありますか？$n \times n$$A$$B$$P$$B = P^{-1}AP$GI$P$$P$GI

要素がフィールドFにある行列AとBは、それらが同じフロベニウス正規形を持っている場合にのみ（Fで）類似しています。クイック検索によると、n × n行列のフロベニウス正規形はO（n ³）のフィールド操作[Sto98]で計算でき、これは行列乗算の複雑さに匹敵するものに改善できるようです[ Sto01]。

[Sto98] Arne Storjohann。フロベニウス正規形のO（n ³）アルゴリズム。ではシンボリックと代数計算（ISSAC）1998年国際シンポジウム、頁101-105、8月1998 DOI：10.1145 / 281508.281570。

[Sto01] Arne Storjohann。フロベニウス形式の決定論的計算。でコンピュータサイエンスの基礎の第42回IEEEシンポジウム（FOCS） 、頁368から377まで、10月2001 DOI：10.1109 / SFCS.2001.959911。

実際、この問題をGIに関連付けるには他の制限があります。たとえば、がクロネッカー（テンソル）積であることが必要な場合、結果の問題は3価テンソルの等価と同じくらい難しいです。これは、線形コード等価とほぼ同じ複雑さです。同様に、GI-hardであることが知られています（しかし、GIと同等であるとは知られていません）。$P$$P$$P_1 \otimes P_2 \otimes P_3$

あなたの質問に対する別の視点は、一般的な状況を明らかにするかもしれませんが、次のとおりです。セット上のグループアクション（各に1つ）について、2つの与えられた点が同じ軌道にあるかどうかを判断する複雑さについて尋ねることができます。これをその（ファミリーの）アクションの軌道問題と呼びます。あなたの質問は次のように言うこともできる軌道上の問題の複雑さについては、本質的にそれからである。与えられたリニアグループのアクションベクトル空間上の、軌道上の問題を検討誘発する作用（接合によって）上$G_n$$X_n$$n$$x,y \in X_n$$G_n$$G_n$$V_n$$G_n$$X_n = V_n \otimes (V_n)^*$。

グラフの同型については、およびがあり、座標を入れ替えることによる自然な作用があります。行列共役の場合、自然なアクションにがあります。上記の例では、自然なアクションでがあります。。$G_n = S_n$$V_n = \mathbb{R}^n$$G_n = \text{GL}_n(\mathbb{F})$$V_n = \mathbb{F}^n$$G_n = \text{GL}_a \times \text{GL}_b \times \text{GL}_c$$V_n = \mathbb{F}^{a} \otimes \mathbb{F}^b \otimes \mathbb{F}^c$