十分な大きさのアフィン部分空間で定数ではないブール関数

明示的なブール関数fに興味があります：$f \colon \\{0,1\\}^n \rightarrow \\{0,1\\}$次のプロパティを使用しますアフィン部分空間でfが一定の場合$f$、この部分空間の次元は o （n ）です。$\\{0,1\\}^n$$o(n)$

部分空間A =を考慮することにより、対称関数がこの特性を満たさないことを示すことは難しくありません。$A=\\{x \in \\{0,1\\}^n \mid x_1 \oplus x_2=1, x_3 \oplus x_4=1, \dots, x_{n-1} \oplus x_n=1\\}$。任意正確たN / 2 1の、ひいてはF定数が部分空間であるA寸法のN / 2。$x \in A$$n/2$ $1$$f$$A$$n/2$

クロスポスト：https : //mathoverflow.net/questions/41129/a-boolean-function-that-is-not-constant-on-affine-subspaces-of-large-enough-dimen

検索しているオブジェクトは、1つの出力ビットを持つシードレスアフィンディスパーサーと呼ばれます。より一般的には、家族のための1つの出力ビットと無核分散のサブセットの{ 0 、1 } nが関数であるF ：{ 0 、1 } のn → { 0 、1 }そのような任意のサブセット上のS ∈ F、関数fは定数ではありません。ここでは、アフィン部分空間のファミリーであるFに興味があります。$\mathcal{F}$$\{0,1\}^n$$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}$$S \in \mathcal{F}$$f$$\mathcal{F}$

ベン-Sasson及び「部分空間多項式からアフィン分散剤」のKoppartyは、明示的次元の部分空間少なくともため無核アフィン分散機を構成する。分散機の詳細は、ここで説明するには少し複雑すぎます。 $6n^{4/5}$

論文で説明されているより単純なケースは、次元部分空間にアフィン分散器が必要な場合です。次に、それらの構成ビューF n 2をF 2 nとして、分散器をf （x ）= T r （x 7）に指定します。ここで、T r ：F 2 n → F 2はトレースマップを示します：T r （x ）= ∑ $2n/5+10$${\mathbb{F}}_2^n$${\mathbb{F}}_{2^n}$$f(x) = Tr(x^7)$$Tr: {\mathbb{F}}_{2^n} \to {\mathbb{F}}_2$。トレースマップの重要なプロパティは、Tr（x+y）=Tr（x）+Tr（y）です。 $Tr(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{2^i}$$Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)$

$\mathbb{F}_2$$n\times n$$n^2 - n$