Parity-LからCNOT回路へのログスペースの削減？

質問。

彼らの論文の改善安定化回路のシミュレーション、アーロンソンとCNOT回路をシミュレートすることであることをGottesman請求⊕Lの（ログ・スペースの削減下）-complete。itLに含まれていることは明らかです。硬さの結果はどのように保持されますか？

同等： 2を法とする反復行列積から2を法とする要素行列（行変換を実現する可逆行列）の反復積への対数空間の縮小はありますか？

詳細

制御NOT（又はCNOT）動作形式で、可逆ブール演算であるここで、j^番目のビットのみが変更され、そのビットは、任意の異なる位置hおよびjに対して、モジュロ2を追加することによって変更されます。解釈すれば、見づらいことではありません。

{C N O T}_{h, j} (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, \dots, x_{h}, \dots, x_{j} \oplus x_{h}, \dots, x_{n})

$\mathsf{CNOT}_{\!h,j} (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j\,, \;\ldots\;, x_n) \;\;=\;\; (x_1\,, \;\ldots\;, x_h\,,\; \ldots\;, x_j \oplus x_h\,, \;\ldots\;, x_n)$

x_{h}

$x_h$

ℤ/2ℤ上のベクトルとして、これは2を法とする基本行変換に対応します。これは、対角線に1を持ち、対角線以外の位置にある行列で表すことができます。CNOT回路は、このタイプのいくつかの基本行列の積からなる行列積です。

x = (x_{1}, \dots, x_{n})

$\mathbf x = (x_1\,, \;\ldots\;, x_n)$

前述のAaronsonとGottesmanの論文（この質問には非常に偶然ですが、⊕Lでシミュレートできる量子回路のクラスに関するものです）には、計算の複雑さに関するセクションがあります。このセクションの始めに向かって、彼らは⊕Lを次のように説明します。

⊕Lは、非決定論的対数空間チューリングマシンによって解決可能なすべての問題のクラスであり、受け入れパスの総数が奇数の場合にのみ受け入れます。しかし、おそらく非コンピューター科学者にとってより直感的な別の定義があります。これは、⊕Lが多項式サイズのCNOT回路、つまり 初期状態| 0 ...0⟩に作用するNOTおよびCNOTゲートのみで構成される回路のシミュレーションに帰着する問題のクラスであるということです。（2つの定義が同等であることを示すのは簡単ですが、これには通常の定義が何を意味するかを最初に説明する必要があります！）

この記事の対象読者には、かなりの数の非コンピューター科学者が含まれていたので、脱退したいという希望は無理ではありません。この等価性がどのように成り立つかを誰かが明らかにできることを願っています。

明らかに、そのような行列の積をシミュレートすることで行うことができる⊕Lための反復行列積の係数（ログ・スペースの削減下で）完全問題である（MOD 2）、評価の特殊な場合として⊕L。さらに、CNOTマトリックスは基本的な行操作を実行するだけなので、任意の可逆マトリックスをCNOTマトリックスの積として分解できます。しかし、可逆行列mod 2を対数空間削減によって CNOT行列の積に分解する方法を私にどのように理解するかは明確ではありません。（実際、コメントでEmilJekábekが指摘したように、ガウス消去法は行列式mod 2を計算するのに十分です。これは⊕L完全な問題です。たとえば、分解による直接攻撃基本行列の積としての可逆行列は、L = ⊕Lでない限り、対数空間では実行可能ではないようです。）可逆でない行列積は言うまでもありません。したがって、賢い削減が必要と思われます。

誰かがこの削減のスケッチ、またはリファレンス（例えば 、簡単な場合はこれが演習であるテキスト）を提供できることを望みます。

— ニール・ド・ボードラップ
ソース

行列式mod

計算も⊕L完全であるため、ガウス消去法mod

は⊕L難しいと思います。

2

$2$

2

$2$

— エミルイェジャベクはモニカをサポートします

@EmilJeřábek：あなたの発言について考えていますが、これは、L = unlessLでない限り、CNOT回路のシミュレーションが⊕L に対して完全ではないことを直ちに意味するかどうかを確認しようとしています。（1つの行列の積、または単一の行列と単位行列の積を考慮してください！）これはほとんど簡単すぎるようです。私は何かが欠けていますか？たぶん、多対一の削減を除外するだけだと思います。

— ニールドボードラップ

そんなに簡単だとは思いません。⊕Lは決定問題のクラスであり、F_2上の行列乗算は関数問題です。マトリックス乗算のmatrixLバージョンは、結果の特定のビット（マトリックスの左上エントリなど）を要求します。両方のシーケンスの積が同じ左上の要素を持つように、マトリックスのシーケンスを取り、基本マトリックスのシーケンスを生成する対数空間アルゴリズムがありますか？これは、真のガウス消去法よりもはるかに弱いです。実際、アーロンソンとゴッテスマンの主張は私にとってもっともらしいと主張していますが、それを証明する方法はわかりません。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートしています

@EmilJeřábek：ETLの決定問題のほとんどは、DETにとって自然な問題の個々の係数の検証に基づいていることを考えています（機能問題は⊕L完全であると言えますが、という用語）; そして、マトリックス製品に対する私の直感は、単一の係数に対してアドホックに配置するのが難しいほど十分に複雑であるということです。他のすべての係数も一致します。

— ニールドボードラップ

ログスペースマシンの受け入れパスをカウントすると、非循環グラフのパスをカウントすることになります。これは、対角線上の1を持つ上三角行列の乗算で表すことができます。後者は、ガウス消去法を使用せずに、明示的な方法で基本行列の積として簡単に表現できます。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートしています

私たちは始めましょう MODカウントの-complete問題長さのパスの数をの頂点からへの頂点有向グラフにおける。次のように、ログスペースの削減をいくつか適用します。 $\oplus L$ $2$ $n$ $s$ $t$ $G=(V,E)$

レッツ $G'=(V',E')$ ようにグラフであり及び $V'=V\times\{0,\dots,n\}$ （すなわち、我々が取るのコピーの頂点、メイク縁から行くの目のコピーをに応じたコピー番目ののエッジ、及びすべての自己ループを追加します）。その後、元の問題は、長さの計数経路に相当するからに $E'=\{((u,i),(v,i+1):i<n,(u,v)\in E\}\cup\{(w,w):w\in V'\}$ $n+1$ $G$ $i$ $(i+1)$ $G$ $n$ $s'=(s,0)$ $t'=(t,n)$ で。 $G'$

また、非環式であり、我々は、明示的に列挙定義することができる $G'$ 内の全てのエッジように、離れ自己ループからから行くと一部の。一般性を失うことなく、およびです。してみましょう $V'=\{w_k:k\le m\}$ $G'$ $w_k$ $w_l$ $k<l$ $w_0=s'$ $w_m=t'$ の隣接行列も $M$ $G'$ 指定された列挙型。その後、の右上の要素に等しい。 $M$ は、対角線上にを持ち、からまで長さのパスの数を持つ上三角整数行列です。 $1$ $n$ $s'$ $t'$ $M^n$

ことが簡単にわかります。のみ非対角エントリ基本行列であるに行および列。このようにして、元の問題を、基本行列の積の右上の要素の計算に限定しました。で

M = \prod_{j = m}^{1} \prod_{i = 0}^{j - 1} E_{i, j} (M_{i, j}),

$M=\prod_{j=m}^1\prod_{i=0}^{j-1}E_{i,j}(M_{i,j}),$

E_{i, j} (a)

$E_{i,j}(a)$

a

$a$

i

$i$

j

$j$

\oplus L

$\oplus L$ 場合、計算はモジュロ

。つまり、

上の行列を考慮します。（この場合、基本行列は、無視できる

、および質問で述べたように単一のCNOTゲートでシミュレートできる

。）それらを整数行列と見なす場合、

完全問題を取得し、それらをモジュロ

と見なす場合、

完全問題を取得します。

2

$2$

F_{2}

$\mathbb F_2$

E_{i, j} (0) = I

$E_{i,j}(0)=I$

E_{i, j} (1)

$E_{i,j}(1)$

# L

$\#L$

k

$k$

{M o d}_{k} L

$\mathrm{Mod}_kL$

— EmilJeřábekがモニカをサポート
ソース

私はそれがある意味

持つ基本行列の-complete 非負整数係数。任意の整数では、DET完全です。

# L

$\#L$

— エミールイェジャベクはモニカをサポートしています

以下はおそらく標準ですが、以前は明示的に見たことがありませんでした：（おそらく循環）有向グラフの長さnのパスの数を正確に見つけることは⊕L完全であることを示すために、これはいくつかの係数を計算することに注意してください上の任意の行列の力

、である⊕Lの -complete。この答えは、基本的に、マトリックスの電力供給（Mの標準構成を、上部の非対角ブロックのGの任意の隣接マトリックスのコピーのみからなるブロックマトリックスとして使用し、対角の1から）CNOT回路への削減としてのものです。いい答え！

F_{2}

$\mathbb F_2$

— ニールドボードラップ

matrixL-完全性を証明するのが難しい行列演算を行う必要はありません。⊕Lは、非決定論的対数空間チューリングマシンの受け入れパスをmod 2で数えることによって定義されます（多項式タイムクロックを使用すると、数が有限であることが保証されます）。これは、マシン（すべてのパスが同じ構成で終了し、パスが同じ長さになるように、クロックが期限切れになるまでマシンをループさせてから固定受け入れ状態にすることにより、簡単に配置できます）。

— エミールイェジャベクはモニカをサポートしています

私は、Buntrock et al。の論文StuctureとLogspace-MODクラスの重要性のアイデアに焦点を当てることから、、非循環有向グラフ内の任意の長さのパスの数、および自然に接続されている行列積や累乗などのDETのような問題に関して考えることにはるかに慣れてきました。

— ニールドボードラップ