タグ付けされた質問 「comp-number-theory」

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数値フィールドの因数分解の複雑さ
一般的な数値フィールドの整数の因数分解の計算の複雑さについて知られていることは何ですか？すなわち： 整数上では、バイナリ展開を介して整数を表します。一般的な数値フィールドの整数の類似表現は何ですか？ 数体上の原数がPまたはBPPにあることはわかっていますか？ 数値フィールドを因数分解するための最もよく知られているアルゴリズムは何ですか？（および（明らかに）EXPN 1 / 3アルゴリズムから延びるZ？）ここで、ファクタリングは数いくつかの表現を見つけることを意味する（で表されるn個の素数の積として）ビット。expn−−√exp⁡n\exp \sqrt nexpn1/3exp⁡n1/3\exp n^{1/3}ZZ\mathbb{Z}nnn 数値フィールドで整数のすべての因数分解を見つけることの複雑さは何ですか？いくつの異なる因数分解があるかを数えますか？ 上のことが知られている所定数の区間の要因を持っているかどうかを決定する〔、B ]ZZ\mathbb{Z}[a,b][a,b][a,b] NP困難です。数値フィールド内の整数のリング上で、ノルムが特定の間隔内にある素因数があるかどうかを見つけることは、すでにNP困難である可能性がありますか？ BQPの数値フィールドを因数分解していますか？ 発言、動機、および更新。 もちろん、因数分解は数値フィールド上で一意ではないという事実はここで重要です。この質問（特にパート5）は、GLLに関するこのブログ投稿（この発言を参照）と、以前のTCSexchangeの質問によるものです。Lior Silverman が徹底的な答えを提示した私のブログでもそれを提示しました。
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素数計算関数は＃P-completeですか？
リコールπ（n ）π(n)\pi(n)素数の数≤ n個≤n\le nでプライムカウント機能。「PRIMES in P」により、π（n ）π(n)\pi(n)計算は#Pになります。問題は＃P-completeですか？または、おそらく、この問題が#P完全ではないと信じる複雑な理由がありますか？ PS誰かが問題を研究し、これを証明/反証/推測したにちがいないので、私はこれが少し素朴であることを認識していますが、文献で答えを見つけることができないようです。なぜ私が気になるのか興味があるなら、こちらをご覧ください。
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順不同リストを与えられた未知の値
誰でも次の問題で私を助けることができますか？ 私はいくつかの値を検索したいai,bjai,bja_i,b_j（MOD NNN）i=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K,j=1,2,…,Ki=1,2,…,K, j=1,2,…,K （例えばK=6K=6K=6のリスト与え、）K2K2K^2という値具体的な対応関係を知らずに、差ai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N（たとえばN=251N=251N=251）に対応します。値以来ai,bj(modN)ai,bj(modN)a_i,b_j\pmod N一意に違い与え定義されていないai−bj(modN)ai−bj(modN)a_i-b_j\pmod N、我々は探して任意の 値の有効割り当て。 間違いなく、リスト内のK2K2K^2数の各順列を試して（合計K2!K2!K^2!場合）、変数としてai,bjai,bja_i,b_jを使用してモジュラー方程式を解くことは実行不可能です。 実際、この問題はNTRU署名スキームの初期バージョンへの暗号解読に関する論文（http://eprint.iacr.org/2001/005）で発生します。しかし、著者は「単純なバックトラックアルゴリズムが1つのソリューションを見つける」という文（3.3節）を1つだけ書いたので、だれかがさらに説明できますか？さらに、著者は「すべての循環シフト{((ai+M)modN,(bi+M)modN}Ki=1{((ai+M)modN,(bi+M)modN}i=1K\{((a_i+M)\mod N,(b_i+M)\mod N\}_{i=1}^Kまたはスワップ({(N−1−bi,N−1−ai)}Ki=1)({(N−1−bi,N−1−ai)}i=1K)(\{(N-1-b_i,N-1-a_i)\}_{i=1}^K)はa_i-b_j \ mod Nと同じパターンにai−bjmodNai−bjmodNa_i-b_j\mod Nなります。このステートメントは役に立ちますか？
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mを法とする行列式
（法とする剰余環）の係数を持つ整数行列の行列式を計算するための既知の効率的なアルゴリズムは何ですか。数値は素数ではなく、複合で可能性があります（したがって、計算はフィールドではなくリングで実行されます）。 mmZmZm\mathbb{Z}_mmmmmmm 私が知る限り（以下を参照）、ほとんどのアルゴリズムはガウス消去法の修正です。問題は、これらの手順の計算効率についてです。 何らかの異なるアプローチがあることが起こった場合、私はそれにも興味があります。 前もって感謝します。 更新： この質問の原因を説明しましょう。は素数であると仮定します。したがって、はフィールドです。この場合、未満の数値を使用してすべての計算を実行できるため、数値のすべての操作に優れた上限があります：加算、乗算、反転---ガウス消去法を実行するために必要なすべての操作。Z m mmmmZmZm\mathbb{Z}_mmmm 一方、が素数ない場合、一部の数値の反転を実行できません。したがって、行列式を計算するにはいくつかのトリックが必要です。mmm そして今、私は仕事をするための既知のトリックは何であり、そのようなトリックは本や論文で見つけることができるかどうかに興味があります。
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？
ディック・リプトンのブログを読んでいる間、私は彼の終わり近くに、次の事実を偶然見つけボーン因子ポスト： すべての、形式関係が存在する 場合 ここで、、および、およびそれぞれはビット長がであり、因数分解は多項式サイズの回路。nnn(2n)!=∑k=0m−1akbckk(2n)!=∑k=0m−1akbkck (2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k} m=poly(n)m=poly(n)m = poly(n)akaka_kbkbkb_kckckc_kpoly(n)poly(n)poly(n) つまり、、指数ビットのビットを持ち、潜在的に効率的に表現できます。(2n)!(2n)!(2^n)! 少し質問があります： 誰かが上記の関係の証拠を提供し、名前を教えてくれ、および/または参照を提供できますか？ 私はあなたを与えるとしたら、との各、と、あなたは（つまりはそれがである私に関係の妥当性をチェックする多項式時間アルゴリズムを提供することができ）？m a k b k c k N Pnnnmmmakaka_kbkbkb_kckckc_kNPNPNP
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GCDを計算するための量子NCアルゴリズムはありますか？
MathOverflowに関する私の質問の1つに対するコメントから、対ある GCD に関する質問は、 vs.にある整数因子分解に関する質問に似ていると感じます。P P N PN CNC\mathsf{NC}PP\mathsf{P}PP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP} 整数因数分解のための量子多項式時間（）アルゴリズムがあるので、GCDのための"quantum "アルゴリズムのようなものはありますか？B Q PN CNC\mathsf{NC}B Q PBQP\mathsf{BQP} 関連質問：最大公約数の複雑さ（gcd）
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メビウス関数の計算
メビウス関数μ(n)μ(n)\mu(n)は、nが2乗素因数の場合はμ(1)=1μ(1)=1\mu(1)=1、、すべての素数の場合はμ （p 1 … p k）= （− 1 ）kとして定義されます。p 1、… 、p kは異なります。μ （n ）を計算することは可能ですか？μ(n)=0μ(n)=0\mu(n)=0nnnμ(p1…pk)=(−1)kμ(p1…pk)=(−1)k\mu(p_1 \dots p_k)= (-1)^kp1,…,pkp1,…,pkp_1,\dots,p_kμ(n)μ(n)\mu(n)素因数分解を計算せずにnnn？
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この問題の複雑性クラス？
次の問題がどの複雑度クラスに属するかを理解しようとしています。 指数ルート問題（EPRP）の累乗 ましょう多項式であり有限体から引き出された係数のと素数、およびそのフィールドの原始根を。 （または同等に、のゼロの解を決定します 。ここで、は累乗を意味します。度（P ）≥ 0 G F （Q ）Q R P （X ）= R X P （X ）- 、R X 、R X、Rp(x)p(x)p(x)deg(p)≥0deg⁡(p)≥0\deg(p) \geq 0GF(q)GF(q)GF(q)qqqrrrp(x)=rxp(x)=rxp(x) = r^x p(x)−rxp(x)−rxp(x) - r^xrxrxr^xrrr とき、という注意（多項式が一定である）、この問題はNP-中間であると考えられている離散対数問題、に戻し、すなわち、それはNPではなく、PでもNP完全でもありません。deg(p)=0deg⁡(p)=0\deg(p)=0 私の知る限り、この問題を解決する効率的な（多項式）アルゴリズムは存在しません（BerlekampおよびCantor–Zassenhausのアルゴリズムには指数時間が必要です）。このような方程式の根を見つけるには、次の2つの方法があります。 フィールド内のすべての可能なアイテム試して、それらが方程式を満たすかどうかを確認します。明らかに、これにはフィールドモジュラスのビットサイズに指数関数的な時間が必要です。xxx ラグランジュ補間を使用して点を補間することにより、指数関数を多項式形式で書き換えることができます。 、多項式決定します。この多項式は、と同一です正確には有限体で作業しているからです。次に、与えられた方程式の根を見つけるために（BerlekampまたはCantor–Zassenhausアルゴリズムを使用して差因数分解し、根から因子を読み取ります。ただし、このアプローチは徹底的な検索よりもさらに劣ります。平均して、与えられた点を通る多項式はrxrxr^x{(0,r0),(1,r1),…,(q−1,rq−1)}{(0,r0),(1,r1),…,(q−1,rq−1)}\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}f(x)f(x)f(x) p （x ）− f （x ）n nrxrxr^{x}p(x)−f(x)p(x)−f(x)p(x) - f(x)nnnnnn 非ヌル係数、ラグランジュ補間への入力のみでも、フィールドビットサイズの指数空間が必要になります。 この問題がNP中級であると考えられているか、他の複雑性クラスに属していると考えられているかどうか誰もが知っていますか？参照は大歓迎です。ありがとう。
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見つけるためにデBruijnグラフシーケンスを使用
ショーン・アンダーソンは、公開されたビットハッキングいじる見つけるために、エリック・コールのアルゴリズムを含むのビットの整数でのルックアップ乗算として動作を制御します。N V O （LG （Nを））⌈log2v⌉⌈log2⁡v⌉\lceil\log_2 v \rceilNNNvvvO(lg(N))O(lg⁡(N))O(\lg(N)) このアルゴリズムは、De Bruijnシーケンスの「マジック」番号に依存しています。誰かがここで使用されているシーケンスの基本的な数学特性を説明できますか？ uint32_t v; // find the log base 2 of 32-bit v int r; // result goes here static const int MultiplyDeBruijnBitPosition[32] = { 0, 9, 1, 10, 13, 21, 2, 29, 11, 14, 16, 18, 22, 25, 3, 30, 8, 12, …
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パワー間の距離を計算するアルゴリズム
素数、をすばやく計算できますかa,ba,ba, bminx,y>0|ax−by|minx,y>0|ax−by| \min_{x, y > 0} |a^x - b^y| ここで、x,yx,yx, yは整数です。明らかに、x=y=0x=y=0x = y = 0をとると、面白くない答えが得られます。一般に、これらの力はどの程度近づくことができますか？また、最小化x、yをすばやく計算するにはどうすればよいx,yx,yx, yですか？
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