数値フィールドの因数分解の複雑さ

一般的な数値フィールドの整数の因数分解の計算の複雑さについて知られていることは何ですか？すなわち：

整数上では、バイナリ展開を介して整数を表します。一般的な数値フィールドの整数の類似表現は何ですか？
数体上の原数がPまたはBPPにあることはわかっていますか？
数値フィールドを因数分解するための最もよく知られているアルゴリズムは何ですか？（および（明らかに）アルゴリズムから延びる？）ここで、ファクタリングは数いくつかの表現を見つけることを意味する（で表されるの素数の積として）ビット。 $\exp \sqrt n$ $\exp n^{1/3}$ $\mathbb{Z}$ $n$
数値フィールドで整数のすべての因数分解を見つけることの複雑さは何ですか？いくつの異なる因数分解があるかを数えますか？
上のことが知られている所定数の区間の要因を持っているかどうかを決定する $\mathbb{Z}$ $[a,b]$ NP困難です。数値フィールド内の整数のリング上で、ノルムが特定の間隔内にある素因数があるかどうかを見つけることは、すでにNP困難である可能性がありますか？
BQPの数値フィールドを因数分解していますか？

発言、動機、および更新。

もちろん、因数分解は数値フィールド上で一意ではないという事実はここで重要です。この質問（特にパート5）は、GLLに関するこのブログ投稿（この発言を参照）と、以前のTCSexchangeの質問によるものです。Lior Silverman が徹底的な答えを提示した私のブログでもそれを提示しました。

cc.complexity-theory nt.number-theory comp-number-theory

— ギル・カライ
ソース

例を挙げていただけますか？フィールドdefnの素因数分解は、整数の素因数分解とどう違うのですか？

— -vzn

（0）の場合：私は通常番号フィールド推測

として表される

ここで

既約多項式です。次に、の要素

ペアのタプル

K

$\mathbb K$

Q [ξ] / ⟨ φ ⟩

$\mathbb Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$

φ

$\varphi$

K

$\mathbb K$

ここで、

((n_{0}, d_{0}), (n_{1}, d_{1}), \dots, (n_{δ - 1}, d_{δ - 1}))

$((n_0,d_0),(n_1,d_1),\dotsc,(n_{\delta-1},d_{\delta-1}))$

。あなたの要素があることをこれは意味

。

δ = \deg (φ)

$\delta=\deg(\varphi)$

n_{0} / d_{0} + n_{1} ξ / d_{1} + \dots + n_{δ - 1} ξ^{δ - 1} / d_{δ - 1}

$n_0/d_0+n_1\xi/d_1+\dotsb+n_{\delta-1}\xi^{\delta-1}/d_{\delta-1}$

— ブルーノ

@Gilこの本を見たことがありますか？ springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-55640-4 現時点ではコピーにアクセスできません（数日後にまた確認しますが）。（i）代数的数値フィールド、または（ii）クラス番号> 1のDedekindドメインに、因数分解について書かれたものがあるかどうかを確認します。

— ダニエルAPON

@vzn：ギルの口に言葉を入れずに、彼は有理数の有限の拡張を意味すると確信しています（正確にはあなたがリンクしたもの）。彼が「そのようなフィールドの因数分解」と言うとき、彼はそのようなフィールドの整数の環を因数分解することを意味すると確信しています。リンクした同じウィキペディアのページには、代数的数値フィールドに整数のリングに関するセクションがあります。

— ジョシュアグロチョウ

@vzn数値フィールドふるいは、数値フィールドを使用して整数を因数分解します。

— ユヴァルフィルマス

回答:

次の回答は、元々Gilのブログのコメントとして投稿されたものです

（1）レッツ我々が想定番号フィールド、であるモニック最小多項式有する。その後、整数環の要素を多項式として、または積分基底で表すことができます。2つは同等です。 $K=\mathbb{Q}(\alpha)$ $\alpha$ $f\in\mathbb{Z}[x]$ $\mathcal{O}_K$ $\alpha$

今固定（1）のように上の問題から多項式時間の減少がありますにおける問題の。計算（たとえば、理想と交差または多項式mod 因数分解）が多項式時間で実行できることを確認するには、前の回答で言及したCohenの本を参照してください。 $K$ $K$ $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}$ $p$

の判別式（の判別式）を分割する各有理数素数事前計算として、上にあるすべての素数を見つけます。 $p$ $\alpha$ $f$ $\mathcal{O}_K$ $p$

理想所与素数判定のために（2）、せようなもので（これは多項式時間で計算することができるとのビット数入力多項式です）。が素数かどうかを多項式時間でチェックします。そうでない場合、は素数ではありません。はいの場合、事前計算または mod 因数分解することにより、上にあるの素数を見つけます。いずれにしても、が素数である場合それらの素数の1つでなければなりません。 $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $p\in\mathbb{Z}$ $\mathfrak{a}\cap\mathbb{Z} = p\mathbb{Z}$ $p$ $p$ $\mathfrak{a}$ $\mathcal{O}_K$ $p$ $f$ $p$ $\mathfrak{a}$

素数に因数分解について（3A）、（6A）は、理想的所与そのノルム見つける。繰り返しますが、これは多項式時間で見つけることができ、結果として大きすぎません。因子における（いずれかの古典的またはショアのアルゴリズムを使用して、あなたが望む削減によって異なります）。これは分割する有理数素数のリストを与えるため、2のように分割するの素数のリストを見つけることができます。以来 $\mathfrak{a}\triangleleft\mathcal{O}_K$ $y = N^K_\mathbb{Q}(\mathfrak{a}) = [\mathcal{O}_K:\mathfrak{a}]$ $y$ $\mathbb{Z}$ $y$ $\mathcal{O}_K$ $y$ これは分割素数のリストを与えます。最後に、素数が与えられた理想を除算する指数を決定するのは簡単です。 $\mathfrak{a} | y\mathcal{O}_K$ $\mathfrak{a}$

（3b）、（6b）しかし、ギルは素数ではなく既約への因数分解を望んでいます。それはの素因数分解所与ことが判明、効率的に構築することが可能である1つの因数分解の既約元に。このため、クラス番号とし、与えられた理想の理想クラスを効率的に計算できることに注意してください。ここで既約除数を見つけるために選択します $x\mathcal{O}_K$ $x$ $\mathcal{O}_K$ $h_K$ $x$ $h_K$ の因数分解から（おそらく繰り返しで）プライム理想を $x$ 。ハト穴の原理により、これらのサブセットの一部はクラスグループのアイデンティティに乗算されます。そのような最小限のサブセットを見つけます。その積は、既約要素によって生成される主要な理想です。除算、この要素によって、分解と繰り返しから、関連する理想を削除します。因数分解の要素が未満の場合、すべての因子の最小サブセットを取得します。 $x$ $h_K$

（4）因数分解を既約に数えることは可能だと思いますが、これは少し余分な組み合わせ論です。それを解決する時間をください。一方、それらのすべてを決定することは、一般に指数関数的に多くのそのような因数分解があるため、準指数的因数分解アルゴリズムのコンテキストでは興味深いものではありません。

（5）わからない。

— リオール・シルバーマン
ソース

ダニエルが述べたように、計算代数的数論のコースA Course（リンク）で。

特に、数値フィールドの要素を表す方法はいくつかあります。LET 有すること番号フィールド A学位のモニック既約多項式。してみましょう、任意のルートで。いわゆる標準表現要素のタプル $K=Q[\xi]/\langle\varphi\rangle$ $\varphi$ $n$ $\mathbb Z[\xi]$ $\theta$ $\varphi$ $\alpha\in K$ $(a_0,\dotsc,a_{n-1},d)$ 、および、ように $a_i\in\mathbb Z$ $d>0$ $\gcd(a_0,\dotsc, a_{n-1},d)=1$

α = \frac{1}{d} \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} θ^{i} .

$\alpha=\frac{1}{d} \sum_{i=0}^{n-1} a_i\theta^i.$

— ブルーノ
ソース