この問題の複雑性クラス？

次の問題がどの複雑度クラスに属するかを理解しようとしています。

指数ルート問題（EPRP）の累乗

ましょう多項式であり有限体から引き出された係数のと素数、およびそのフィールドの原始根を。（または同等に、のゼロの解を決定します。ここで、は累乗を意味します。 $p(x)$ $\deg(p) \geq 0$ $GF(q)$ $q$ $r$

p (x) = r^{x}

$p(x) = r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) - r^x$

r^{x}

$r^x$

r

$r$

とき、という注意（多項式が一定である）、この問題はNP-中間であると考えられている離散対数問題、に戻し、すなわち、それはNPではなく、PでもNP完全でもありません。 $\deg(p)=0$

私の知る限り、この問題を解決する効率的な（多項式）アルゴリズムは存在しません（BerlekampおよびCantor–Zassenhausのアルゴリズムには指数時間が必要です）。このような方程式の根を見つけるには、次の2つの方法があります。

フィールド内のすべての可能なアイテム試して、それらが方程式を満たすかどうかを確認します。明らかに、これにはフィールドモジュラスのビットサイズに指数関数的な時間が必要です。 $x$
ラグランジュ補間を使用して点を補間することにより、指数関数を多項式形式で書き換えることができます。、多項式決定します。この多項式は、と同一です正確には有限体で作業しているからです。次に、与えられた方程式の根を見つけるために（BerlekampまたはCantor–Zassenhausアルゴリズムを使用して差因数分解し、根から因子を読み取ります。ただし、このアプローチは徹底的な検索よりもさらに劣ります。平均して、与えられた点を通る多項式は $r^x$ $\{(0,r^0),(1,r^1),\ldots,({q-1},r^{q-1})\}$ $f(x)$ $r^{x}$ $p(x) - f(x)$ $n$ $n$ 非ヌル係数、ラグランジュ補間への入力のみでも、フィールドビットサイズの指数空間が必要になります。

この問題がNP中級であると考えられているか、他の複雑性クラスに属していると考えられているかどうか誰もが知っていますか？参照は大歓迎です。ありがとう。

— マッシモ・カファロ
ソース

申し訳ありませんが、私はNP中級者であると考えられています。これを反映するために質問を編集しています。

— マッシモカファロ14年

私は「方程式

の解を決定する」ことを好みますが、もちろん、

の根を決定するか、あるいは

"ここで、

は、質問で説明したラグランジュ補間で見つかった多項式が同等である必要があります。

p (x) = r^{x}

$p(x)=r^x$

p (x) - r^{x}

$p(x) -r^x$

p (x) - f (x)

$p(x) - f(x)$

f (x)

$f(x)$

— マッシモカファロ14年

離散対数はこの特殊なケースではありませんか？そのため、少なくとも離散ルートと同じくらい難しく、NPでは明らかにそうです。個別ログがNPIであると思われる場合、これも同様です。問題に対して効率的な量子アルゴリズムがあるかどうか尋ねることができます。

— カベ14年

@Kaveh：離散ログは特別なケースであるという質問で言及されています。この問題はもっと難しい（NP完全）かもしれませんが、同じだと思います。しかし、あなたは、多項式アルゴリズムの検索は全く絶望的であることは正しいです。

— domotorp 14年

クロスポスト

— 1

-5

これに答えるのに苦労します。質問には参考文献はありませんが、複数の人がそれを研究したかのように頭字語「EPRP」が与えられています。それが当てはまるかどうか誰もが知っていますか？質問者MCはこの領域にかなりのbkgを持っているようですが、この特別なケースをカバーしない（？）ギャップがある理由を理解するために既知/レビューされた「近くの」参照をリストすることは非常に役立ちます。

通常、「最も近い利用可能な参照」を見つけ、問題がどのように異なるか類似しているかを判断するのに役立ちます。これは、密接に関連する問題を検討していると思われる包括的な参考文献です。質問者MCは、このrefまたはその他の問題の最も近いケースを見つけようとし、このケースがrefで与えられた一般的な問題のケースとは具体的に異なることを指摘すべきだと思います。参照には、近くの/関連する問題もチェックするための関連参照の長いリストがあります。彼は問題の複雑さを考慮し、さまざまな場合に効率的なP時間アルゴリズムを提供します。

...有限体のいくつかの族で多項式を解くための決定論的な多項式時間アルゴリズムを提示します。多項式は強力な構造であることに注意してください。多くの問題は、多項式として定式化できます。

— vzn
ソース

この「答え」は、論文へのリンクを含むコメントでなければなりません。

— サショニコロフ14

@vzn、メインアルゴリズム（berlekamp、Cantor-Zassenhaus、Lagrange補間）が私の質問で引用されており、ウェブを検索する関連資料のトンを簡単に見つけることができます。ここにShoupアルゴリズムを追加することもできますが、この問題が調査された単一の参照を追加することはできません。「EPRP」という頭字語は、問題を参照するための単なる方法であり、文献には記載されていません。とにかく、あなたが親切に提供した参考文献をチェックしましたが、研究された問題はあまりにも簡単で、残念なことに私の場合には当てはまらない仮定を単純化しています。

— マッシモカファロ14年

また、博士号で研究された問題論文は「一般」ではありません：それらは扱いやすいように仮定を簡素化する特定の問題です。非常に面白くて堅実な仕事ですが、Tsz Wo Sze博士が多項式時間アルゴリズムでEPRPを解いたなら、おそらく今までにフィールズメダルを授与されていただろう;-)

— Massimo Cafaro 14年

x

$x$

ϕ (ϕ (q))

$\phi(\phi(q))$

@VZN：おいおい、なぜこのサイトをつねにトロールするのですか？冗談になりつつあります。。あなたも、ショアとGrowchow、電気ショック療法のように、ここで他の本物の科学者のようなあなたの本当の身元を使用していない（もちろんコンピュータ科学志望している

— ウィリアムHIRD