素数計算関数は＃P-completeですか？

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リコール $\pi(n)$ 素数の数 $\le n$ でプライムカウント機能。「PRIMES in P」により、 $\pi(n)$ 計算は#Pになります。問題は＃P-completeですか？または、おそらく、この問題が#P完全ではないと信じる複雑な理由がありますか？

PS誰かが問題を研究し、これを証明/反証/推測したにちがいないので、私はこれが少し素朴であることを認識していますが、文献で答えを見つけることができないようです。なぜ私が気になるのか興味があるなら、こちらをご覧ください。

cc.complexity-theory counting-complexity nt.number-theory comp-number-theory primes

— イゴール・パック
ソース

5

@MohsenGhorbani：いいえ、「同じ」問題ではありません。似ていません

— イゴールパック

4

証拠ではなく、単に好奇心：

を実際に数値として扱う＃P-completeである単一の関数

を知ってい

f (n)

$f(n)$ ますか？つまり、nのバイナリ表現を常に見て、そのバイナリ文字列をSATの式またはグラフとして扱うことができますが、それは避けたいと思います。

— ジョシュアグロチョウ

3

@JoshuaGrochow 1つのパラメーターで私が知っている「自然な」（NTではない）難しい問題はすべて＃EXP-cにあります。このような問題の例：タイルの固定セット

を使用した

n \times n

$n \times n$ 正方形のタイルの数（つまり、タイルが入力にない）。THMは：そこに存在する

stが、この問題は＃EXP-Cです。

T

$T$

T

$T$

— イゴールパック

1

@JoshuaこれはかなりのNP-完全に関連している

f (n)

$f(n)$ 、明らかに、我々はまた、まだ明確な答えを持っていない：cstheory.stackexchange.com/questions/14124/...

— domotorp

2

ことを通知

# P^{B P P} = # P

$\mathrm{\#P^{BPP}=\#P}$ 、したがって

π

$\pi$ 絶えずミラーラビンため#Pでした。

— EmilJeřábekは、

回答:

2

$\pi(n)$ $\pi(n)$ $X$ $Y$ $\mathsf{P}$ $\#\mathsf{P}^X \not\subset \mathsf{P}^{XY}$ $Y$ $\pi(n)$ $X$

— ジェフリーアーヴィング
ソース

4

最後の文は誤解を招くと思う。確かに、ここで実際に必要なのは、これが本当かどうかはわかりません。実際、これはと同等です。

\underset{X}{Pr} [{P P}^{X} \neq P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}^X\ne\mathrm{P}^X]=1$

\underset{X}{Pr} [P P ⊈ P^{X}] = 1

$\Pr_X[\mathrm{PP}\nsubseteq\mathrm{P}^X]=1$

P P \neq B P P

$\mathrm{PP\ne BPP}$

— EmilJeřábekは、

1

@EmilJeřábek：もちろんですが、が＃P-completeではないという証拠に関しては、＃P-completeの場合はPP = BPPであると正式に示すことができれば、かなり強力な証拠と考えます＃P-completenessに反対...

π (n)

$\pi(n)$

— ジョシュアグロチョウ

3

@JoshuaGrochow私はそれに同意します。ランダムオラクルを使用したの結果は関係ないと思います。

P^{X} \neq {P P}^{X}

$\mathrm P^X\ne\mathrm{PP}^X$

— EmilJeřábekは、

1

@EmilJeřábek：うん、それは良い点です。編集する前に、 aaが2つのランダムなオラクルを与えたという事実を証拠として受け入れますか？

P^{X Y} \neq # P^{X}

$P^{XY} \ne \#P^X$

— ジェフリーアーヴィング

1

知ってる？

— EmilJeřábekは

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