NP完全な自然に自然な問題はありますか？

30

自然数はビットシーケンスと見なすことができるため、自然数の入力は0-1シーケンスの入力と同じであるため、自然入力のNP完全問題が明らかに存在します。しかし、何らかの自然な問題、つまり、数字のエンコードと特別な解釈を使用しない問題はありますか？たとえば、「素数ですか？」これは自然な問題ですが、これはPにあります。または、「サイズ3、5、n、nのヒープでNimゲームに勝つのは誰ですか？」私が自然だと考える別の問題ですが、これがPにあることもわかっています。NPではなく他の複雑度クラスにも興味があります。

更新：EmilJeřábekが指摘し与えられが自然に対する解を持っているかどうかを決定することはNP完全です。これは、入力が1つではなく3つの数値であることを除いて、私が自然に考えていたものです。 $a,b,c\in \mathbb N,$ $ax^2+by-c=0$

更新2：そして、4年以上待った後、ダンブルムレーヴは「より良い」ソリューションを提供しました-ランダム化された削減のため、まだ完全ではないことに注意してください。

— domotorp
ソース

1

入力が整数nであり、問題はnxnグリッドの有効なタイルが存在するかどうかを判断するNEXP完全なタイルの問題を知っています。それがあなたにとって興味深い場合、私は論文を探します。

— ロビンコタリ

2

@Emil：domotorpのコメントは、私が抱えていた混乱に対する回答でした。しかし、それは私の側の誤解であったため、コメントを削除しました。入力は単一の自然数である必要があり、何もエンコードしないでください。

— ロビンコタリ

8

@domotorp：私が意図したNP完全問題は、与えられが解持っているかどうかを判断することです。別のバリアントは、与えられ

ようながあるかどうかを決定します。（結果はdx.doi.org/10.1145/800113.803627からのものです。）

a, b, c \in N

$a,b,c\in\mathbb N$

a x^{2} + b y - c = 0

$ax^2+by-c=0$

x, y \in N

$x,y\in\mathbb N$

a, b, c

$a,b,c$

x \leq c

$x\le c$

x^{2} \equiv a (\mod b)

$x^2\equiv a\pmod b$

— EmilJeřábekはモニカをサポートしています

3

この質問に対する答えが明らかにNOではないのはなぜですか？すべてのNPハード問題には、ブール回路を「エンコード」するインスタンスがあります。おそらく、それがNPハードであることの意味です！

— ジェフ

2

@domotorp：おそらく別の良い「自然な」候補は、与えられた単一の数の最小加算チェーンを見つける問題です：最小加算チェーンの数から： "...番号NP完全である。時々のための最小限の追加・チェーン見つけることを主張しているように、これが意味するものではありません NP完全である。しかし、我々は簡単に数のためにすべての最小限の追加チェーンを見つける問題ことを推測することができありますNP完了...」

n

$n$

m

$m$

n

$n$

n

$n$

— マルツィオ・デ・Biasi

17

この問題には、単一の整数入力による変動があります。

んその2個の最大の素因数の間で厳密に除数を持っていますか？ $n$

アイデアは、リンクされた質問に対する一番上の回答で説明したサブセット合計から同じランダム化された削減を使用することですが、ターゲット範囲は個別に指定する代わりに最大の2つの素数としてエンコードされます。定義は、変装した単なるペアリング関数であるにもかかわらず、自然に見えます。

同じ問題の別のバリエーションを次に示します。パーティションの問題を同様に削減したものです。

ある未満だけ異なる2つの整数の積？ $n$ $n^{\frac{1}{4}}$

両方の削減において、近くの素数を見つけてそれらの積を取ることによって整数のセットを「偽装」しています。多項式時間でそれを行うことが可能である場合、これらの問題はNP完全です。

マハネーの定理と一緒にこれらの例を見ると光を放つと思いますと近くの素数を見つけることができれば、これらの集合はスパースではありません。複雑性理論から純粋に算術的なステートメントを取得することは満足のいくものです（たとえ推測に過ぎず、他の方法で簡単に証明できる可能性が高いとしても）。 $P \ne NP$

— ダン・ブルムレーヴ
ソース

「P≠NPで、近くの素数を見つけることができたら」とはどういう意味ですか？

— T ....

1

@ao。、削減について説明しているPeter Shorの回答を参照してください。NP完全であるために、時間でで素数を見つけることができる必要があり。これについては、後で自分のアカウントで説明します。

p

$p$

| p - n | < n^{a}

$\vert p - n \vert \lt n^a$

O ((\log n)^{k})

$O((\log{n})^k)$

— ダンブルムレーヴ

どのセットは密ではありませんか？

— T ....

33

議論に基づいて、回答としてこれを再投稿します。

MandersとAdlemanによって証明されたように、次の問題はNP完全です。自然数与えられると、ような自然数が存在するかどうかを判断します。 $a,b,c$ $x\le c$ $x^2\equiv a\pmod b$

この問題は与えられた場合、二次が解持っているかどうかを判断して次のように同等に述べることができます。 $b,c\in\mathbb N$ $x^2+by-c=0$ $x,y\in\mathbb N$

（元の論文はの問題を述べていますが場合にそれを減らすことができるのを見るのは難しくありません。） $ax^2+by-c$ $a=1$

— EmilJeřábekがモニカをサポート
ソース

10

これは、入力として単一の自然数を持つ完全な問題です。 $\text{NEXP}$

問題は、タイルの固定セットと、隣接するタイルと境界上のタイルの制約でグリッドをタイリングすることです。これらはすべて、問題の仕様の一部です。入力の一部ではありません。入力は数字のみです。問題は、示されているように、タイルルールの選択に対して完全です $n \times n$ $n$ $\text{NEXP}$

D.ゴッテスマン、S。イラニ、「並進不変タイリングとハミルトニアン問題の量子的および古典的複雑さ」Proc。第50回年次シンポジウム Foundation of Computer Science、95-104（2009）、DOI：10.1109 / FOCS.2009.22。またarXiv：0905.2419。

この問題は、arxivバージョンの5ページで定義されています。

さらに、 -completeである同様の問題も定義してい。これはの有界誤差量子類似です。（の古典的な境界誤差アナログはです。） $\text{QMA}_\text{EXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{NEXP}$ $\text{MA}_\text{EXP}$

— ロビン・コタリ
ソース

3

+1は、それが数と主張するために少し難しい、それが特定のチューリングマシン（への入力をコードしているので、「自然な」方法で使用されているチューリングマシンが受け付けるときに限り、具体的に、タイルが存在し、ある電位入力文字列の列挙で番目）が。まだ非常に興味深い結果です。

n

$n$

x

$x$

x

$x$

n

$n$

— mjqxxxx

私は最大限にmjqxxxxに同意します。

— domotorp

2

コルモゴロフ複雑性の時間制限のあるバリアントの1つを使用すると、数値のバイナリ表現のみを使用する問題を構築でき、（）がある可能性は低いと思います。非公式には、「圧縮可能ですか？」という問題の決定可能なバージョンです。 $\mathsf{P}$ $n$

問題：与えられると、チューリングマシンはブランクテープのおよびは、ステップ未満でを出力します。ここで、は、バイナリ表現の長さです。 $n$ $M$ $|M| < l$ $M$ $n$ $l^2$ $l = \lceil \log{n} \rceil$ $n$

と与えられると、ステップでをシミュレートし、停止する場合は結果をと比較するため、明らかににあります。 $\mathsf{NP}$ $n$ $M$ $M$ $l^2$ $n$

— マルツィオ・デ・ビアシ
ソース

この問題はかなりTMに基づいていると思いますが、もちろん線を引くことは不可能です。

— domotorp

domotorpのコメントを改良するために、問題記述でチューリングマシンの概念をまったく呼び出さなければならないという事実は、「自然数に関する自然な問題」としてそれを排除すると言うでしょう。（私たちは自然数についてntaural問題は、その一般的なフォーマット一致するであろう1であると仮定した場合などフェルマーとあまりにも反事実数学の歴史を想定せずに、それを研究した。）

— ニール・デ・Beaudrap

2

私たちのFOCS'17紙ショートプレスブルガー算術では、NP-Cである「自然」問題の一例であり、一定の数の使用入力での整数のを、言う。Manders-Adlemanとは異なり、制約はすべて不等式です。背景については、Gil Kalaiのブログ投稿を参照してください。 $C$ $C< 220$

— イゴール・パック
ソース

これはマンダース・アドルマンよりも自然だと思います。個の変数と不等式の例より小さい可能性はありますか？

5

$5$

10

$10$

— T ....

いいえ、5つの変数が最小です。10-わからない。しかし、あなたは本当に... 6以上持つことはできません

— イゴール朴

と背後には理由がありますか？つまり、すべてのと有限数の不等式がにあることが証明されています（同様に、すべての変数と不等式の定式化はますか？）

\geq 5

$\geq5$

\geq 6

$\geq6$

\leq 4

$\leq4$

P

$P$

\leq 5

$\leq5$

\leq 5

$\leq5$

P

$P$

— T ....

はい。少数の変数の場合、問題はP.である

— イゴール朴

2

はい。それはすべて私たちの論文とダニー・グエンの論文にあります。 math.ucla.edu/~pak/papers/Nguyen-thesis.pdf

— イゴールパック

1

どの程度PARTITIONの問題？

— ケビン・A・ウォートマン
ソース

3

いいえ、入力は数値ではなくセットです。

— domotorp

1

それで、インスタンスが正確に1つの自然数である問題を求めていますか？「自然な入力の問題」を求め、Nimゲームの例には4つの数字が関係しているので、あなたの質問ではそれは明らかではないと思います。

— ケビンA.ワートマン

質問の作成があいまいだった場合は、申し訳ありません。

— -domotorp