間隔に素数が含まれるかどうかの決定

自然数の間隔に素数が含まれるかどうかを判断する複雑さは何ですか？エラトステネスのふるいの変異体は、得られるアルゴリズム、間隔の長さ間隔の開始点に隠れポリ対数因子。（だけで）より良くできますか？ $\tilde O(L)$ $L$ $\sim$ $L$

— エリオット・ゴロホフスキー
ソース

Nitpick：エラトステネスのふるいは、長さ1の間隔であっても、開始点に単に多対数因子を与えるだけではありません。表現のサイズの多項式）が、これには、Sieve of Eratosthenesよりもはるかに高度なアルゴリズムが必要です。

— ヴァネッサ

@Squark True、「指定された因子ベースに関連する擬似プライム」を指定する必要があります。間隔の開始点が大きくなるように、素数判定の予想コストは...ゼロになるけれども

— エリオットGorokhovsky

免責事項：私は数論の専門家ではありません。

簡単な答え：「合理的な数論的推測」を引き受けたい場合、時間の区間に素数があるかどうかを知ることができます。あなたがそのような仮定をすることを望んでいないなら、そこで美しいアルゴリズムによるOdlyzkoには達成していることを、と私は、これが知られている最良であると信じています。 $[n, n+\Delta]$ $\mathrm{polylog}(n)$ $n^{1/2 + o(1)}$

密接に関連した問題に関する多くの素晴らしい情報との非常に役立つリンク：素数を見つけるための決定論的アルゴリズムに関するPolyMathプロジェクト。

長い答え：

これは困難な問題であり、研究の活発な分野であり、素数間のギャップを制限するという難しい問題に密接に関連しているようです。あなたの問題は、最近PolyMathプロジェクトの対象となったと間の素数を決定論的に見つける問題に道徳的に非常に似ています。（これらの質問に実際に飛び込みたい場合、そのリンクは開始するのに最適な場所です。）特に、両方の問題に対する私たちの最良のアルゴリズムは本質的に同じです。 $n$ $2n$

どちらの場合も、最適なアルゴリズムは素数間のギャップのサイズに大きく依存します。特に、がと間に常に素数がある（およびを効率的に計算できる場合）、常に時間内の素数見つけることができます、次のように。と間に素数があるかどうかを判断するには $f(n)$ $n$ $n + f(n)$ $f(n)$ $\mathrm{polylog}(n) \cdot f(n)$ $n$ 、もし最初のチェック。その場合、yesを出力します。それ以外の場合は、と間の整数を反復処理し、それぞれ素数性をテストし、素数が見つかった場合はyes、そうでない場合はnoと答えます。（これは決定論的に行うことができるため、と間の素数を決定論的に見つけることは、特定の間隔に素数があるかどうかを決定することに密接に関連しています。） $n + \Delta$ $\Delta \geq f(n)$ $n$ $n + \Delta$ $n$ $2n$

素数が私たちが思うように振る舞う場合、これが物語の終わりです（最大要因）。特に、を取ることができると期待しています。これは、HaraldCramérにちなんでCramérの予想として知られており、現時点では非常に手の届かないところにあることを証明しています。しかし、私が知る限り、それは広く信じられています。（一つは素数が各整数を含むことによって得られる整数のランダムセットのように振る舞うことヒューリスティックから、例えば、この推測に到達 $\mathrm{polylog}(n)$ $f(n) = O(\log^2 n)$ $n \geq 3$ 確率でランダムに独立して） $1/\log n$

ずっとずっと弱い束縛を意味するもので、多くの推測があります、ルジャンドル予想など。（私は、彼らが存在していることを想像しても私は、中間バウンドを意味することが知られているいずれかの推測を認識していないよ。）そして、リーマン予想は、同様のバウンドを暗示することが知られている $f(n) \leq O(\sqrt{n})$ 。したがって、これらの推測を仮定すると、本質的にOdlyzkoのアルゴリズム（係数）をはるかに単純なアルゴリズムと一致させます。 $f(n) \leq O(\sqrt{n} \log n)$ $n^{o(1)}$

私は最高の無条件バウンド右が今であると信じていますによるベイカー、ハーマン、およびPintz。したがって、何も仮定しない場合、Odlyzkoのアルゴリズムは明らかなアルゴリズムを約係数で打ち負かすことになります。 $\widetilde{O}(n^{0.525})$ $n^{0.025}$

— ノア・スティーブンス・ダビドウィッツ
ソース

k

$k$

k

$k$

π (x) := \# primes below \leq x

$\pi(x) := \text{\# primes below $\leq x$}$

p_{n + k} - p_{n}

$p_{n+k}-p_n$

p_{n + 1} - p_{n}

$p_{n+1}-p_n$