mを法とする行列式

（法とする剰余環）の係数を持つ整数行列の行列式を計算するための既知の効率的なアルゴリズムは何ですか。数値は素数ではなく、複合で可能性があります（したがって、計算はフィールドではなくリングで実行されます）。 m$\mathbb{Z}_m$$m$$m$

私が知る限り（以下を参照）、ほとんどのアルゴリズムはガウス消去法の修正です。問題は、これらの手順の計算効率についてです。

何らかの異なるアプローチがあることが起こった場合、私はそれにも興味があります。

前もって感謝します。

更新：

この質問の原因を説明しましょう。は素数であると仮定します。したがって、はフィールドです。この場合、未満の数値を使用してすべての計算を実行できるため、数値のすべての操作に優れた上限があります：加算、乗算、反転---ガウス消去法を実行するために必要なすべての操作。Z m$m$$\mathbb{Z}_m$$m$

一方、が素数ない場合、一部の数値の反転を実行できません。したがって、行列式を計算するにはいくつかのトリックが必要です。$m$

そして今、私は仕事をするための既知のトリックは何であり、そのようなトリックは本や論文で見つけることができるかどうかに興味があります。

の因数分解がわかっている場合は、各法として別々に計算し、中国語の剰余を使用して結果を結合できます。場合、法とする計算は簡単です。これはフィールドであるためです。大きい場合は、ヘンゼルリフティングを使用できます。 p e i i e i = 1 p e i i e $m = p_1^{e_1} \cdots p_n^{e_n}$$p_i^{e_i}$$e_i = 1$$p_i^{e_i}$$e_i$

可換リング上で動作するMahajanとVinayによる組み合わせアルゴリズムがあります：http : //cjtcs.cs.uchicago.edu/articles/1997/5/contents.html

この問題を解決するために、法とする整数での行列乗算のコストが最悪の複雑さの上限であるスミス正規形に基づく高速決定論的アルゴリズムがあります。任意の行列について、アルゴリズムはを簡単に計算できるスミス標準形を出力し。$m$$A$$\text{det}(A)$

より具体的には、定義し、から取得した係数を持つ2つの行列が 、（整数加算基本算術演算を使用して乗算できるようにします、乗算、べき乗など）。次に、$\omega$$n \times n$$\mathbb{Z}_m$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

行列所与、計算することが決定論的なアルゴリズムが存在する用いて上に基本的な算術演算を [1]。$A\in \mathbb{Z}_m^{n \times n}$$\text{det}(A)$$O(n^{\omega})$$\mathbb{Z}_m$

これが1996年に書かれたとき、漸近的に高速な代替手段はありませんでした（論文では、同じ境界を持つアルゴリズムの以前の存在について言及していますが、どのアルゴリズム、または確率的かはわかりません）。

アップデート（2013年7月17日）：このアルゴリズムの素敵なボーナス機能は、それが実行されているということである多項式時間任意のための複合 プライムnuberの知らなくても、因数分解の！ファクタリングのための既知の効率的な（古典的な）アルゴリズムがないため、これは良いことです（もちろん、量子コンピューターがあれば、Shorのアルゴリズムを適用できます）。あなたがいる場合行う因数分解を持って、アルゴリズムMarkusが提案実装するための方法単純に思えます。$m$$m$

注：論文では、標準整数演算を使用する場合、「基本的な算術演算」の複雑さはですが、をより高速に達成できますテクニック。は、2つのビット整数を乗算するコストを制限します。の現在の記録は2.3727です。O （M （対数M ）ログログメートル）M （T ）T $O(\log^2 m)$$O(M(\log m)\log \log m)$$M(t)$$t$$\omega$