パワー間の距離を計算するアルゴリズム

素数、をすばやく計算できますか$a, b$

ここで、$x, y$は整数です。明らかに、$x = y = 0$をとると、面白くない答えが得られます。一般に、これらの力はどの程度近づくことができますか？また、最小化x、yをすばやく計算するにはどうすればよい$x, y$ですか？

最初に、の継続部分を使用して、その収束点でテストするのが最善だと思いました。収束点には、ある意味で最適な近似の点があるためです。その後、距離が単調減少していることを確認するには、少なくとも一般化された継続分数を使用する必要があることが明らかになります。 その後、これを使用した複雑なアルゴリズムでは、次のブルートフォースアルゴがPari / GPでさらに高速になりました。$\log(a)/\log(b)$$(x,y)$

\\ print X,Y,d conditional X>lowboundX, Y > lowboundY, d<upperboundD
{pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d)=if(X<lbX || Y<lbY || abs(d)>ubd,return(0)); 
                  print(a,"^",X,"-",b,"^",Y,"=",d)); }


{mylist(maxa=19,maxb=99,lbX=3,lbY=2,ubd=100)=print(" ");
for(a=2,maxa,for(b=a+1,maxb,
     if(gcd(a,b)>1,next()); \\ ignore trivial multiples
     X=1;Y=1;Xa=a;Yb=b;
     d=Xa-Yb;  pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d);
     for(k=1,20, 
        while(d<0,Xa*=a;d=Xa-Yb;X++;pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d););
        while(d>0,Nb*=b;d=Xa-Yb;Y++;pri1(lbX,lbY,ubd,a,b,X,Y,d););
        if(X>30 || Y>20, break());  \\ stop at max X=30 or Y=20 
       );
   )); }

mylist(100,1000,3,3,100)との小さな違いをすべて見つけるための呼び出しの後 ここで、すべてのおよび両方の指数は少なくとも。およびまでのみをチェックします。 $|d| \lt 100$$3$$a=2..100$$b=(a+1) .. 1000$$\max (X)=30$$\max(y)=20$

これは、何とかナイーブなアルゴリズムではありますが、継続分数アプローチ（処理が困難な（たとえば、ソリューションの完全性を伴う）より不親切な問題もありました）よりもはるかに高速でした...

プロトコル（手動で注文）：

gettime();mylist(200,10 000,3,3,100);gettime() /1000.0 \\ ~ a*b/6000 sec
  (400 sec)

 2^8- 3^5= 13

 6^7-23^4= 95
 2^7- 3^4= 47

 2^7- 5^3=  3
 2^5- 3^3=  5
 3^4- 4^3= 17

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 2^6- 3^4=-17

 3^5- 4^4=-13
 2^5- 3^4=-49

 2^8- 7^3=-87
(4^4- 7^3=-87)

 3^7-13^3=-10
 2^6- 5^3=-61
(4^3- 5^3=-61)
 2^5- 5^3=-93

 2^4- 3^3=-11
 3^4- 5^3=-44
 6^4-11^3=-35
15^4-37^3=-28

 3^3- 4^3=-37
 3^3- 5^3=-98
 5^3- 6^3=-91