？

ディック・リプトンのブログを読んでいる間、私は彼の終わり近くに、次の事実を偶然見つけボーン因子ポスト：

すべての、形式関係が存在する場合ここで、、および、およびそれぞれはビット長がであり、因数分解は多項式サイズの回路。 $n$
$(2^{n})! = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}$ $(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$ $m = poly(n)$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $poly(n)$

つまり、、指数ビットのビットを持ち、潜在的に効率的に表現できます。 $(2^n)!$

少し質問があります：

誰かが上記の関係の証拠を提供し、名前を教えてくれ、および/または参照を提供できますか？
私はあなたを与えるとしたら、との各、と、あなたは（つまりはそれがである私に関係の妥当性をチェックする多項式時間アルゴリズムを提供することができ）？ $n$ $m$ $a_k$ $b_k$ $c_k$ $NP$

— user834
ソース

そのブログ投稿は実際にその逆を主張していませんか？すなわち、上記フォームの式であれば

(2^{n})! = \sum \dots

$(2^n)! = \sum \cdots$ は一般的な解があり、因数分解には多項式サイズの回路があります。

— mikero

あなたは実際にディック・リプトンが書いたものの逆を書いたと思います。彼は、そのような方程式が

ごとに存在する場合

n

$n$ 、因数分解には多項式サイズの回路があると言います。つまり、因数分解が不均一に難しい（無限に多くの

n

$n$ ）場合、上記の形式の方程式は存在しません（無限に多くの

n

$n$ ）。

— サショニコロフ

@ mikero、SashoNikolov、あなたは両方とも正しい、私の謝罪。質問を編集しました。

— user834

「多項式時間アルゴリズム」は通常、均一なアルゴリズムを意味することに注意してください。リプトンの投稿は、因数分解のためのポリサイズ回路ファミリーの存在のみを主張しています。

— サショニコロフ

このプロパティをtrueにするには、、およびは、リプトンのブログに記載されているようにビットサイズがであり、整数がなければなりません。あなたの定義は明確ではありません。

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

p o l y (n)

$poly(n)$

p o l y (2^{n})

$poly(2^n)$

— ゴピ

なぜ質問ように関係があるのかについてコメントします（ごと）は因数分解に役立ちます。議論を完全に終わらせることはできませんが、誰かができるかもしれません。

（ 2^{n} ） ！ = \sum_{k = 0}^{m - 1} a_{k} b_{k}^{c_{k}}

$(2^n)! = \sum_{k=0}^{m-1} a_k b_k^{c_k}$

n

$n$

最初の観察は、上記のような関係（より一般的に、用ポリサイズ演算回路が存在することである）を計算するためのポリサイズの回路が得られる用所与バイナリ：単純な繰り返しによるべき乗を使用して、モジュロ評価します。 $(2^n)!$ $(2^n)!\bmod x$ $x$ $x$

今、私たちは、計算することができれば任意のため、我々は要因の可能性が：バイナリ検索を使用して、最小見つけように私たちが使用して計算することができます（）。その場合、は最小の素因数でなければなりません。 $y!\bmod x$ $y$ $x$ $y$ $\gcd(x,y!)\ne1$ $\gcd(x,(y!\bmod x))$ $y$ $x$

我々は唯一の大国行うことができた場合はするために、我々はまだ計算しようとすることができますすべてのため。これらの1つは、がと互いに素であるようなが存在するという不幸な場合を除いて、自明でない除数になります、分割。これは、が平方なしであり、そのすべての素因数が同じビット長であると言うことと同等です。この（やや重要な、Blumの整数を参照）場合の対処方法がわかりません。 $2$ $y$ $\gcd(x,(2^n)!)$ $n\le\log x$ $x$ $n$ $x$ $(2^n)!$ $(2^{n+1})!$ $x$

— EmilJeřábekがモニカをサポート
ソース

リレーションが（すべての）保持されている場合、を別の（小さな）プライム置き換えたときにも（、および異なる選択で）保持される可能性があります。おそらくがと互いに素であるようなが見つかるまで検索できありません

n

$n$

a_{k}

$a_k$

b_{k}

$b_k$

c_{k}

$c_k$

2

$2$

p

$p$

p

$p$

x

$x$

(p^{n})!

$(p^n)!$

(p^{n + 1})!

$(p^{n+1})!$

— user834