タグ付けされた質問 「computability」

計算可能性理論、つまり再帰理論。

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決定可能性が不明な単純な問題
私は、学部の数学専攻を対象とした講演の準備をしていますが、その一環として、決定可能性の概念について議論することを検討しています。現在、決定可能または決定不能であることがわからない問題の例を挙げたいと思います。このような問題は数多くありますが、今のところ良い例として際立っているものはありません。 決定可能性が開いている、説明が簡単な問題とは何ですか？
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教会とチューリングのテーゼを反証するとはどういう意味ですか？
キャッチーなタイトルでごめんね。私は理解したいのですが、教会とチューリングのテーゼを反証するために何をしなければなりませんか？どこかで読んだことは数学的に不可能です！どうして？ チューリング、ロッサーなどは異なる用語を使用して、「計算できるもの」と「チューリングマシンで計算できるもの」を区別しました。 これに関するチューリングの1939年の定義は次のとおりです。 したがって、教会チューリングの論文は次のように述べることができます：すべての効果的に計算可能な機能は計算可能な機能です。 繰り返しになりますが、この推測を否定すると、証明はどのようになりますか？
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決定できない問題に対する近似アルゴリズムの賢明な概念はありますか？
特定の問題は決定不能であることが知られていますが、それでもそれを解決する上である程度の進歩を遂げることは可能です。たとえば、停止の問題を決定することはできませんが、コード内の潜在的な無限ループを検出するためのツールを作成することで、実用的な進歩を遂げることができます。タイルの問題はしばしば決定不能です（たとえば、このポリオミノはいくつかの長方形にタイルを張りますか？）が、この分野でも最新技術を進歩させることが可能です。 私が不思議に思っているのは、NP困難問題の進捗を測定するために開発された理論的装置に似た、決定できない問題の解決に関する進捗を測定するまともな理論的方法があるかどうかです。それとも、特定のブレークスルーが決定不能な問題の理解をどの程度進めるかについて、その場限りの、私が知っている、進行しているとき、見ているときの評価にこだわっているように思えますか？ 編集：私はこの質問について考えると、おそらくパラメータ化された複雑さがここで関連しているかもしれないと思います。パラメータを導入し、パラメータの値を修正すると、決定できない問題が決定可能になる場合があります。しかし、この観察が役に立つかどうかはわかりません。
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実現可能性理論：ラムダ計算とチューリングマシンのパワーの差
関連する3つのサブ質問があり、それらは下の箇条書きで強調されています（いいえ、疑問に思っている場合は分割できません）。Andrej Bauerは、ここで、いくつかの関数はチューリングマシンで実現できるが、ラムダ計算では実現できないと書いています。彼の推論の重要なステップは次のとおりです。 ただし、ラムダ計算を使用する場合、[プログラム] cは、関数fを表すラムダ項からチューリングマシンを表す数値を計算することになっています。これを行うことはできません（別の質問として質問した場合、その理由を説明できます）。 説明/非公式の証拠を見たいです。 ここでライスの定理を適用する方法がわかりません。この述語を同等の用語に適用すると同じ結果が得られるため、「このチューリングマシンTとこのラムダ項Lは同等ですか？」という問題に適用されます。ただし、必要な関数は、異なるが同等のラムダ項に対して異なるが同等のTMを計算する場合があります。 さらに、問題がラムダ項のイントロスペクションにある場合、ラムダ項のGödelエンコーディングを渡すことも受け入れられると思いますか？ 一方では、彼の例がラムダ計算で、特定のタスクを完了するためにチューリングマシンが必要とするステップ数を計算することを考えれば、私はあまり驚かない。 しかし、ここではラムダ計算ではチューリングマシン関連の問題を解決できないため、ラムダ計算で同様の問題を定義し、チューリングマシンでは解決できないことを証明できるのか、それとも実際には力の差があるのか​​疑問に思いますチューリングマシン（これには驚かされます）。
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チューリングマシンを主要な計算モデルとして採用する歴史的な理由。
チューリングのモデルは、計算を記述する際の「標準」になったと私は理解しています。なぜそうなのか、つまり、TMモデルが他の理論的に同等の（私の知る限り）モデル、たとえばKleeneのμ-RecursionやLambda Calculus（私は理解している）よりも広く使用されるようになった理由を知りたい前者は後ほど登場せず、後者はもともと計算のモデルとして特別に設計されていなかったが、代替案が最初から存在していたことを示している）。 私が考えることができるのは、TMモデルがその代替よりも実際に持っているコンピューターをより厳密に表しているということです。これが唯一の理由ですか？
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シングルテープチューリングマシンのアルファベット
すべての関数は、サイズアルファベットを使用して、シングルテープチューリングマシンで時間で計算できますかサイズアルファベット（空白など）を使用するシングルテープチューリングマシンでの時間f:{0,1}∗→{0,1}f:{0,1}∗→{0,1}f : \{0,1\}^* \to \{0,1\}tttk=O(1)k=O(1)k = O(1)O(t)O(t)O(t)3330,1,0,1,0,1, （OPによる以下のコメントから）入力はを使用して書き込まれますが、サイズアルファベットを使用するチューリングマシンは、より大きなアルファベットのシンボルで入力シンボルを上書きできます。時間要する入力をシフトすることなく、大きいアルファベットのシンボルを小さいアルファベットにエンコードする方法がわかりません。0,10,10,1kkkn2n2n^2
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自己参照や対角化に依存しない停止問題の決定不能性の証拠はありますか？
これはに関連した質問です。この1。そこでの多くの議論の後、はるかに単純な形で再びそれを置くと、それは全く異なる質問のように感じました。 停止問題の決定不能性の古典的な証明は、仮想HALT決定子をそれ自体に適用しようとするときに矛盾を示すことに依存します。これは、それ自体が停止するかどうかを決定するが、他のケースの停止の決定可能性に関する情報を提供しないHALT決定者を持つことが不可能であることを示しているだけだと思います。 だから質問は HALTが自分自身を決定できず、対角化引数にも依存していないことを示すことに依存しない停止問題が決定不能であることの証拠はありますか？ 小さな編集：質問の元の表現にコミットします。これは、（HALTに依存する対角化に依存しないことを単に要求するのではなく）ダイアゴナル化にまったく依存しない証明を求めています。
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真の乱数発生器：チューリング計算可能？
「真にランダムな」数の生成がチューリング計算可能かどうかの決定的な答えを探しています。これを正確に表現する方法がわかりません。 「乱数生成のための効率的なアルゴリズム」に関するこのStackExchangeの質問は、私の質問に答えるところです。チャールズ・スチュワートは彼の答えで、「それ（マーティン・ロフの乱雑さ）は機械によって生成することはできません。ロス・スナイダーは、「決定論的なプロセス（チューリング/登録マシンなど）は、「哲学的」または「真の」乱数を生成することはできません。」真の乱数ジェネレーターの構成要素について明確で受け入れられている概念はありますか？もしそうなら、それはチューリング機械によって計算できないことが知られていますか？ おそらく関連する文献を示してくれれば十分でしょう。あなたが提供できる助けをありがとう！ 編集。知識豊富な答えをしてくれたIanとAaronに感謝します！私はこの分野では比較的学校に通っていませんが、支援に感謝しています。この補遺で質問を少し拡張することができます：ランダム性の純粋なソース（オラクル？）にアクセスできるTMは、古典的なTMではできない関数を計算できるのでしょうか？
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Church-Turing論文のインタラクティブな計算モデルへの適用性
Paul WegnerとDina Goldinは10年以上にわたり、主に教会チューリングの論文がしばしばCS理論コミュニティや他の場所で誤って伝えられていると主張する論文や本を出版してきました。つまり、実際にはすべての計算の非常に小さなサブセットである関数の計算にのみ適用される場合、すべての計算を包含するものとして表示されます。代わりに、計算中に外部との通信が発生するインタラクティブな計算のモデル化を模索する必要があることを示唆しています。 この作品について私が見た唯一の批評は、ラムダ・ザ・アルティメット・フォーラムです。そこでは、明らかに知られていることを継続的に公開したことで、誰かがこれらの著者を嘆きました。私の質問は、この考え方、特に永続的チューリングマシンに対する批判がこれ以上ないかということです。そうでない場合、なぜそれが一見非常にほとんど研究されていないのですか（私は間違っているかもしれません）。最後に、普遍性の概念はどのようにインタラクティブなドメインに変換されますか。
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非決定性とランダム性の違いは何ですか？
最近、私はこれを聞いた- 「非決定論的マシンは確率論的マシンと同じではありません。大雑把に言えば、非決定論的マシンは遷移の確率が不明な確率論的マシンです」。 私はポイントを得るかのように感じますが、私は本当にそうではありません。誰かが私にこれを説明できますか（マシンの文脈で、または一般的に）？ 編集1： 明確にするために、引用は有限オートマトンのコンテキストで行われましたが、他の人が答えたように、この質問はチューリングマシンにとっても意味があります。 また、「...その後、セットからオブジェクトxを非決定的に選択します」という人々の声が聞こえます。以前は「ランダムに」という意味だと思っていました。したがって、混乱。
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証明可能な正しいプログラムについて私たちは何を知っていますか？
コンピュータープログラムの複雑さの増大と、コンピューターの社会における重要性の高まりにより、コードが正しく機能することを正式に証明しなければならないプログラミング言語をまだまとめて使用しないのはなぜなのか疑問に思います。 私はこの用語が「証明コンパイラ」であると信じています（ここで見つけました）：プログラミング言語をコンパイルするコンパイラで、コードを書くだけでなく、コードの仕様を述べ、コードが準拠していることを証明する必要があります仕様（または自動化された証明者を使用してそうする）。 インターネットを検索しているときに、非常に単純なプログラミング言語を使用しているプロジェクト、または現代のプログラミング言語に適応しようとする失敗したプロジェクトのみを見つけました。これは私の質問につながります： 本格的なプログラミング言語を実装する認定コンパイラはありますか、またはこれは非常に難しい/理論的に不可能ですか？ また、私は、任意の複雑性クラスのような証明可能なプログラム、関与見ていました「証拠が存在するチューリングマシンですべての言語のクラスを決定可能なこと、このチューリングマシンの停止」私が呼ぶ、するアナログとして、、再帰言語のセット。ProvableRProvableRProvableRRRR このような複雑なクラスを勉強することの利点を見ることができます：たとえば、の場合、Halting問題は決定可能です（明白な方法で定義されたは、それが決定可能な言語の最大クラスになると推測し）。さらに、実際に役立つプログラムを除外することはできないと思います。終了を証明できない場合に誰がプログラムを使用するでしょうか？ProvableRProvableRProvableRProvableREProvableREProvableRE 私の2番目の質問は： 含まれる言語に特定のプロパティがあることを証明することを要求する複雑性クラスについて何を知っていますか？
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複雑さのクラスとロジックの対応
計算可能性とロジックのクラスを一度受講しました。この資料には、複雑性/計算可能性クラス（R、RE、co-RE、P、NP、ログスペースなど）とロジック（述語計算、1次ロジック、...）の相関関係が含まれていました。 相関には、1つのフィールドのいくつかの結果が含まれており、他のフィールドの手法を使用して取得されました。P！= NPは、ロジックの問題として攻撃される可能性があると推測されました（複雑性クラスのドメインからロジックに問題を投影することにより）。 これらのテクニックと結果の良い要約はありますか？
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効率的な計算のためのプログラミング言語
すべての入力で停止し、他の入力で停止するすべてのマシンを許可するプログラミング言語を記述することは不可能です。ただし、このようなプログラミング言語を標準の複雑度クラスに簡単に定義できるようです。特に、すべての効率的な計算と効率的な計算のみを表現できる言語を定義できます。 たとえば、ようなものの場合、お気に入りのプログラミング言語を使用し、プログラムを記述した後（Turing Machine対応）、ヘッダーに3つの値を追加します：整数、整数、およびデフォルト出力。プログラムがコンパイルされると、出力チューリングマシン入力与えられたのサイズの実行上のためのステップ。ステップが開始する前にが停止しない場合、デフォルトの出力出力しますM ′ c k d M x n M ′ x c n k M ′ c n k d PPPPM′M′M'ccckkkdddMMMバツxxnnnM′M′M'バツxxc nkcnkc n^kM′M′M'c nkcnkc n^kddd。誤解がない限り、このプログラミング言語を使用すると、すべての計算を表現できます。ただし、この提案された言語は本質的に興味のないものです。PPP 私の質問：計算可能な関数（すべての効率的に計算可能な関数など）のサブセットを非自明な方法でキャプチャするプログラミング言語はありますか？ない場合、これには理由がありますか？
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最も単純な、議論の余地のない2状態ユニバーサルチューリングマシンとは何ですか？
カードゲームのルールで簡単なチューリングマシンをエンコードしたいです。チューリングの完全性を証明するために、これを汎用チューリングマシンにしたいと思います。 これまで、Alex Smithの2ステート、3シンボルチューリングマシンをエンコードするゲームステートを作成しました。ただし、（確かにウィキペディアに基づいて）（2、3）マシンが実際に普遍的であるかどうかについていくつかの論争があるようです。 厳密を期すために、「論争の余地のない」UTMの機能を備えた証拠を提供したいと思います。だから私の質問は： （2,3）マシンは、一般的にユニバーサル、非ユニバーサル、または物議を醸すものと見なされていますか？これに対する答えを見つけるために信頼できる場所がどこにあるかはわかりません。 （2,3）マシンがユニバーサルとして広く受け入れられていない場合、（2、N）マシンが議論の余地なくユニバーサルとして受け入れられるような最小のNは何ですか？ 追加して編集：言及されたマシンの無限テープの要件を知っていると、たまたま知っていると便利です。（2,3）マシンは、非定期的なテープの初期状態を必要とするようです。これは、カードゲームのルール内でシミュレートするのが少し難しいでしょう。
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