教会とチューリングのテーゼを反証するとはどういう意味ですか？

キャッチーなタイトルでごめんね。私は理解したいのですが、教会とチューリングのテーゼを反証するために何をしなければなりませんか？どこかで読んだことは数学的に不可能です！どうして？

チューリング、ロッサーなどは異なる用語を使用して、「計算できるもの」と「チューリングマシンで計算できるもの」を区別しました。

これに関するチューリングの1939年の定義は次のとおりです。

したがって、教会チューリングの論文は次のように述べることができます：すべての効果的に計算可能な機能は計算可能な機能です。

繰り返しになりますが、この推測を否定すると、証明はどのようになりますか？

教会チューリングの論文は、あらゆる実用的な目的で証明されています。

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.146.5402

Dershowitz and Gurevich、Bulletin of Symbolic Logic、2008。

（この参考文献では、教会とチューリングの仕事の歴史について議論し、「教会のテーゼ」と「チューリングのテーゼ」を明確な論理的主張として分離し、計算可能性の直観的な公理化の中でそれらを証明します。）

この種の議論で言及されることはめったにないので、もっと注目に値すると思う微妙な点があります。

Andrejが示唆するように、チューリングマシンでは計算できない関数を確実に計算するデバイスを誰かが構築するとします。 マシンが実際にfを計算していることをどのようにして知ることができますか？$f$$f$

明らかに、その有限集合上のfと一致する他のチューリング計算可能な関数とは対照的に、マシンがを計算していることを示すのに十分な数の入出力値はありません。したがって、マシンがfを計算しているという私たちの信念は、マシンがどのように動作するかの物理的理論に基づいている必要があります。ハイパーコンピューターの具体的な提案のいくつかを見ると、確かに、それらが行うことは、最先端の物理理論を取り入れて、その理論を無限に外挿することです。$f$$f$$f$。OK、問題ありませんが、ハイパーコンピューターを構築し、ZFCの矛盾を検索するチューリングマシンが停止するかどうかを尋ねるとします。さらに、ハイパーコンピューターが「いいえ」と応答するとします。結論は何ですか？ハイパーコンピューターがZFCの一貫性を「計算」したと結論付けますか？ZFCが実際に矛盾しており、物理理論を偽造した実験を実行した可能性をどのように排除できますか？

チューリングの定義の重要な特徴は、その哲学的仮定が非常に弱いことです。もちろん、物理世界の基本的な安定性や、信頼性が高く、再現性があり、検証可能な方法で有限操作を実行する能力など、私たちの日常経験の特定の単純な機能を前提としています。誰もが受け入れるこれらのこと（哲学教室の外、つまり！）。ただし、ハイパーコンピューターを受け入れるには、無限の外挿を受け入れる必要があるようです。物理学の理論であり、物理学に関するすべての経験は、実験的に検証できる範囲をはるかに超えるレジームでの理論の妥当性について独断的ではないことを教えてくれました。このため、特定のハイパーコンピューターがハイパーコンピューティングとは対照的に単純にコンピューティングするという圧倒的なコンセンサスが発生することは非常に考えにくいようです。つまり、論争のある哲学的または無限外挿に関する物理的仮定。

別の言い方をすれば、チャーチチューリングテーゼを反証するには、Andrejが説明するデバイスを構築するだけでなく、デバイスが宣伝どおりに機能していることを誰もが満足していることを証明する必要があります。 考えられないことではありませんが、これは難しい注文です。今日のコンピューターの場合、計算の最終的な性質は、特定のコンピューターの「計算」の結果が信じられない場合、結果を確認するために、まったく異なる方法でステップの有限シーケンスを原則として実行できることを意味します。ハイパーコンピューターについて疑問がある場合、常識と有限検証へのこの種の「フォールバック」は利用できません。

「効果的に計算可能な機能」の非公式な性質のため、教会チューリングの論文を証明するのは非常に難しいように思えますが、それを反証することの意味を想像することができます。つまり、誰かがチューリングマシンでは計算できない関数を（確実に）計算するデバイスを構築した場合、チューリングマシンでは計算できない効果的に計算可能な関数の存在を確立するため、教会チューリングのテーゼを反証することになります。

教会とチューリングのテーゼを反証することは、実に非常にありえないことであり、概念的には想像するのが非常に難しいようです。教会とチューリングのテーゼとは何らかの緊張関係にあるさまざまな「仮説的な物理的世界」があります（しかし、矛盾するかどうかは、それ自体で興味深い哲学的問題です）。ピトフスキーの論文「物理的教会のテーゼと物理的計算の複雑さ」 Iyun 39、81-99 （1990）は、そのような仮想の物理的世界を扱っています。Itamar PitowskyとOron Shagrirの論文も参照してください。「教会のチューリングテーゼとハイパーコンピューティング」、Minds and Machines 13、87-101（2003）。オロン・シャグリルは教会チューリングの論文についていくつかの哲学論文を書いています。彼のウェブページをご覧ください。（このブログ投稿も参照してください。）

効果的または効率的なチャーチチューリングテーゼは、すべての可能な計算がチューリングマシンによって効率的にシミュレートできると主張する元のチャーチチューリングアサーションよりもはるかに強力なアサーションです。量子コンピューターは、効率的なチャーチチューリングの論文が無効であることを実際に示します（いくつかの計算の複雑さの数学的推測をモジュロし、「漸近解釈」を法とします）。効率的な教会チューリング予想は1985年にWolframによって最初に定式化されたと思います。この論文は上記リンクのPitowskyの論文に引用されています。実際、効率的なCT論文に異議を唱えるために普遍的な量子コンピューターさえ必要とせず、量子システムの計算上の優位性の可能な限り簡単な実証を提案することは興味深い研究です（他の研究の中でもアーロンソン）。

本格的な量子フォールトトレランス（普遍的な量子計算を可能にする）よりも、ノイズの存在下で量子コンピューターの計算上の優位性を示す簡単な方法がある場合、それは興味深い問題でもあります。（スコットA.はこの問題にも関心を持っています。）

私が理解している限り、論文を証明または反証する「不可能」は、「効果的に計算可能」の正式な定義がないということです。今日、私たちはそれを正確に「チューリング機械で計算可能」であると考えていますが、それはむしろ疑問を投げかけています。

チューリングマシンよりも厳密に強力な計算モデルが研究されています。いくつかの例については、http：//en.wikipedia.org/wiki/Hypercomputationをご覧ください。または、チューリングマシンの停止問題のオラクルを使用してチューリングマシンを使用します。このようなマシンには独自の停止問題がありますが、元の停止問題は問題なく解決できます。もちろん、そのような神託はありませんが、このアイデアについて数学的に不可能なことは何もありません。

ハイパーコンピューティングの証明は、一般に、有限量のスペースが含むことができる情報の量に特定の制限を主張するBekensteinの限界の有効性を仮定します。この限界については論争がありますが、ほとんどの物理学者はそれを受け入れていると思います。

Bekensteinの境界がひどく違反されており、特定の領域（ブラックホール、無限に細かく堅牢な彫刻など）に含まれる情報量に制限がなく、その内容を検査するための任意に洗練可能なメカニズムがある場合領域（たとえば、慎重に構成された物体がブラックホールに落ちたときに放出される放射を注意深く調べることによって、または彫刻の溝にスタイラスを走らせることによって）、停止する神託をコードするアーティファクトがすでに存在していると仮定することができます。

非常に可能性は低いですが、ハイパーコンピューティングが不可能であるという主張は数学的な真実ではなく、物理学に基づいていることを示しています。それは、反論することの意味を想像することができると彼が言うとき、アンドレイが正しいと言うことです[教会チューリング論文]。つまり、チューリングマシンでは計算できない関数を（確実に）計算するデバイスを誰かが構築した場合です。

拡張チャーチチューリングテーゼについて（「確率的チューリングマシンは、物理的に計算可能な機能を効率的にシミュレートできます。」）

1つの可能性は、古典的なコンピューターと量子コンピューターの違いです。具体的には、「古典的なコンピューターではできない量子コンピューターが実行できるタスクはありますか？」という質問です。Scott Aaronsonによる最近のECCCレポート（5ページの推測9を参照）は、証明された場合、拡張教会チューリングテーゼに対する強力な証拠を提供する推測を強調しています。

拡張チャーチチューリングテーゼを反証する場合、具体的には、（古典的な）チューリングマシンが効率的に計算できない効率的に計算可能なタスクを示すことで、そのように見える可能性があります。

DCM2011で発表された新しい論文：拡張された教会チューリング論文の形式化と証明（Nachum Dershowitz and Evgenia Falkovich）

Selim Aklからの以下の論文は興味深く、議論に関連しているかもしれません：

Akl、SG、「ユニバーサルコンピュータの神話を払拭する3つの反例」、Parallel Processing Letters、Vol。16、No。3、2006年9月、381〜403ページ。

Akl、SG、「加速マシンでさえ普遍的ではない」、International Journal of Unconventional Computing、Vol。3、No. 2、2007、pp。105-121。

Nagy、M。およびAkl、SG、「量子情報処理における並列性はユニバーサルコンピュータを打ち負かす」、Parallel Processing Letters、非従来型計算問題に関する特別号、Vol。１７、Ｎｏ．３、２００７年９月、ｐｐ．２３３〜２６２。

最初の要約を次に示します。

ユニバーサルコンピューターの概念を実現できないことが示されています。具体的には、ステップごとに有限で固定された数の操作のみが可能なマシンUで計算できない計算可能な関数Fのインスタンスが表示されます。これは、マシンUに無​​限のメモリがあり、Fを計算しようとしている間に外界と通信できる場合でも当てはまります。さらに、Uに計算する時間が無限に与えられている場合にも当てはまります。 F.この結果は、チューリングマシンなどの理想化された計算モデルだけでなく、既存の従来のコンピューター（シーケンシャルおよびパラレルの両方）を含むすべての既知の汎用コンピューターに加えて、生物学的および量子コンピューターとして。

どうしてそれが本当ですか？古典的なコンピューターは、量子コンピューターを効率的にシミュレートすることはできません。古典的なアルゴリズムを実行している古典的なコンピューターよりも指数関数的な高速化を提供する量子アルゴリズムが存在します。Shorのアルゴリズムは1つです。