最も単純な、議論の余地のない2状態ユニバーサルチューリングマシンとは何ですか？

カードゲームのルールで簡単なチューリングマシンをエンコードしたいです。チューリングの完全性を証明するために、これを汎用チューリングマシンにしたいと思います。

これまで、Alex Smithの2ステート、3シンボルチューリングマシンをエンコードするゲームステートを作成しました。ただし、（確かにウィキペディアに基づいて）（2、3）マシンが実際に普遍的であるかどうかについていくつかの論争があるようです。

厳密を期すために、「論争の余地のない」UTMの機能を備えた証拠を提供したいと思います。だから私の質問は：

1. （2,3）マシンは、一般的にユニバーサル、非ユニバーサル、または物議を醸すものと見なされていますか？これに対する答えを見つけるために信頼できる場所がどこにあるかはわかりません。

2. （2,3）マシンがユニバーサルとして広く受け入れられていない場合、（2、N）マシンが議論の余地なくユニバーサルとして受け入れられるような最小のNは何ですか？

追加して編集：言及されたマシンの無限テープの要件を知っていると、たまたま知っていると便利です。（2,3）マシンは、非定期的なテープの初期状態を必要とするようです。これは、カードゲームのルール内でシミュレートするのが少し難しいでしょう。

前の回答で引用された研究以降、いくつかの新しい結果がありました。この調査で は、最新技術について説明しています（図1を参照）。既知の最小の汎用チューリングマシンのサイズは、モデルの詳細に依存し、この議論に関連する2つの結果があります。

• 2ステート、18シンボルの標準ユニバーサルマシンがあります（Rogozhin 1996. TCS、168（2）：215–240）。ここでは、1本のテープの片方向または両方向に空白記号の通常の概念があります。
• あり2状態、4シンボルの弱ユニバーサルマシン（。：262から273ニアリー、ウッズ2009 FCTスプリンガーLNCS 5699）が。ここでは、有限入力を含む単一のテープと、右に無限に繰り返される定数（入力に依存しない）単語と、左に無限に繰り返される別の定数単語 lがあります。これは、David Eppsteinが言及した弱く普遍的なマシンを改善します。$r$$l$

（2,18）が最も役立つようです。

$M$$w$$t$$M$$w$$t$

この図は、さまざまなチューリングマシンモデルの最小の既知のユニバーサルマシンを示しています（Neary、Woods SOFSEM 2012から取得）。参照はここにあります。

これはあなたの質問に対する本当の答えではありません（（2,3）マシンの議論についてはあまり知りません）; しかし、「小さなチューリングマシンと一般化された忙しいビーバーの競争」という論文をお勧めします。私は少し前にそれをすぐに読みました、そしてそれは4種類の小さなTMの間の境界線を持つ素晴らしいグラフを持っています：

• 決定可能
• Collat​​zのような問題を開く
• $3x + 1$
• 普遍的な

（おそらく、いくつかの結果が改善されています）。

論文で使用されているTMの概念は、小型の汎用チューリング機械の論文で使用されているTM の標準的な定義です。

...彼らは両方向に無限のユニークな一次元のテープと、ユニークな双方向の読み書きヘッドを持っています。0で示される空白記号があります。最初は、有限語である入力がテープに書き込まれ、他のセルには空白記号が含まれ、ヘッドは入力の左端の記号を読み取り、状態は初期状態です。各ステップで、マシンの現在の状態とヘッドが読み取ったシンボルに応じて、シンボルが変更され、ヘッドが左または右に移動し（同じセルの読み取りを続けることはできません）、状態が変更されます。特別な停止状態に達すると、計算は停止します。...

同じ異論の多くが当てはまりますが、7つの状態と2つのシンボルで普遍性を実現することも可能です（無限テープ上の不均一な初期条件と異常な終了条件）。http://11011110.livejournal.com/104656.htmlおよびhttp://www.complex-systems.com/abstracts/v15_i01_a01.htmlを参照してください

これらは、Matthew Cookによって普遍的に証明されたRule 110セルオートマトンのシミュレーションに基づいており、2つの状態しかないという制限に悩まされている場合、CookはRule 110の2状態5シンボルシミュレーションも発見しました。

$S$$0\leq s < S$$C$$0\leq c< C$$2$$\text{L}$$\text{R}$$C+4SC$

常に、現在のセル、またはトランジションに関係する2つのセルの色のみが強化されている場合があります。他のすべてのセルには本来の色があります。マシンが次のように動作するようにします。実行する真の遷移を確認し、「真の状態」情報を残したいセルからターゲットセルに移動します（これには多くのやり取りが伴います）。残したセル（本当の色を与える）を繰り返します。

遷移前の現在のセルの色は強化されています $(c,s)$$\text{L}$$\text{R}$$(c_{\text{new}}, s_{\text{new}}, \text{emit})$$\text{L}$

$c$$\text{L}$$c$$(c,0, \text{L},\text{receive})$$\text{R}$

これを実装するための移行を次に示します。ほとんどすべての場合、現在の状態で指定された方向に移動し、状態を反転します

1. $c \to (c,0,\langle dir\rangle,\text{receive})$$\langle dir\rangle$

2. $(c,s) \to (c_{\text{new}},s_{\text{new}},\text{emit})$

3. $(c,s,\text{emit}) \to (c,s-1,\text{emit})$$s>0$

4. $(c,0,\text{emit}) \to c$

5. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c, s+1, \langle dir\rangle, \text{receive})$$\langle dir\rangle$

6. $(c,s, \langle dir\rangle, \text{receive}) \to (c,s)$ if the state is not $\langle dir\rangle$; don't move, do whatever you like with the state. This could be combined with 2. if you want to always move.

Combining 6 and 2 reduces the number of colors to $C+3SC$. I believe that it is possible to make the initial configuration have no enhanced color at all, but it is probably messy.

unless you carefully define "noncontroversial" in some technical way theres not a precise answer. here's another small machine based on rule 110 proved universal in a sense but my understanding is that it requires infinite periodic input tape formulations (and likewise extraction at the end when the machine halts). havent seen the "periodic vs nonperiodic" tape issue described in the literature although its been discussed on eg math mailing lists [Foundations of Mathematics mailing list]

Alex Smith's Turing-universality proof of Wolfram's-conjectured 2-state, 3-symbol Turing machine is definitely not controversial. The given universality proof (not the machine) requires an infinite pattern on the Turing tape, and the question was whether one should allow such configurations (you can think of the usually 'blank' tape as an infinite repetitive pattern of blank symbols too). The conclusion was that as long as the configuration on the machine tape is fixed (i.e. it does not change after your computation starts, and remains the same for any computation), then the universal computation is carried out by the Turing machine. Notice that this is NOT controversial for Wolfram's Elementary Cellular Automaton rule 110 that Wolfram and Cook proven universal. The universality proof of rule 110 also requires an infinite pattern on the initial configuration, one that is different on both sides, and so it is of the same nature for the 2-state, 3-symbol Turing machine. Another concern was that perhaps such a relaxation of the initial condition (blank) requirement would make some accepted non-Turing universal automata universal, such as finite-state, linear bounded or push down automata to mention some examples, but it does not and it respects the Chomsky hierarchy. So definitely it is not controversial whether the 2-state, 3-symbol Turing machine is universal, but its universality proof did require a variation of what usually is considered to be the cotents of a regular Turing machine tape. This does not imply directly, by the way, that the 2-state, 3-symbol Turing machine is not universal on a blank tape configuration, although it might be the case, but that the proof required such a configuration.