チューリング機械とラムダ計算の関係？

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チューリングマシンとラムダ計算の間には関係がありますか、それともちょうど同じ時期に発生しましたか？

computability lambda-calculus turing-machines

— ホークアイ
ソース

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質問を詳しく説明していただけますか？両方のモデルの計算能力は同じです（両方とも再帰関数のファミリーを表現できます）。つまり、チューリング完全です。参照：en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— ジョエルリビッキ

関連：実現可能性理論：ラムダ計算とチューリングマシンのパワーの差

— Kaveh

これはいい質問です！

— タイファンペイ

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ラムダ計算はチューリングの機械モデルよりも古く、明らかに1928-1929年（Seldin 2006）の時代のものであり、彼が考案した基本的なロジックに必要な回路図関数の概念をカプセル化するために発明されました。計算可能な機能の一般的な概念を把握することは発明されておらず、実際、より弱い型付けバージョンが彼の目的をよりよく果たしていただろう。

教会が発明した微積分学の目的に付随しているように思われるが、後に教会は彼が効果的に計算可能な関数（1936）と呼んだものの基礎としてラムダ計算を使用したが、チューリングは彼の論文で訴えた。

教会の単純な型理論（1940）は、高次の論理の構文を表現するのに十分ですが、すべての再帰関数を表現するわけではない、より穏やかで型付きの関数の理論を提供します。この理論は、教会の本来の動機により調和していると見ることができます。

参照資料

教会（1936）。素数論における解決不可能な問題。 American Journal of Mathematics 58：345—363。
教会（1940）。型の簡単な理論の定式化。 Journal of Symbolic Logic 5（2）：56—68。
セルディン（2006）。カレーと教会の論理。ではロジック、5巻の歴史のハンドブック：ラッセルから教会へのロジック、P。819〜874。北ホラント：アムステルダム。

注この回答は、KavehとSashoによる異議により大幅に修正されています。Kavehが提案したウィキペディアのタイムライン、教会の歴史–チューリング論文をお勧めします。これには、独創的な記事からいくつかの選択肢が引用されています。

— チャールズ・スチュワート
ソース

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チャーチは、ラムダ計算がチューリングの論文の前に計算可能な関数の直観的な表記法を取り入れていると主張しました。計算可能な関数の一般的な概念を捉えるという考えはさらに遡り（例えば、ゲーデルの一般的な再帰関数）、教会はそれを捉えようとしていました。

— カヴェー

5

モデルの等価性が完全な事故であると言うのは誤解を招くと思います。教会とチューリングは、概念が実際に関連していることがすぐに明らかではなかったとしても、関連する概念を捉えようとしました。リーマン統合と反分化が密接に関連しているのは「完全な事故」だと思いますか？

— サショニコロフ

@Kaveh：Seldin（2006）によると、教会とカレーの論理、ラムダ計算の目的と構文は、1928年から1929年にかけて開発されました。私の答えはタイムラインから恩恵を受けるでしょうが、今それを組み立てる時間はありません。

— チャールズスチュワート

1

λ

$\lambda$

1

@Charles、私が書いたように、教会の当初の動機は基礎（フレーゲのシステムのようなもの）（AFAIK）を構築することであったことに同意しますが、彼はチューリングの仕事の前にそれを計算モデルとしても考えました。答えを削除する必要はないと思うので、2番目の段落を修正すると問題が解決するはずです。（私がコメントした理由は、最近では人々が教会の仕事を計算可能性で過小評価していると感じているためです。）

— Kaveh

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ラムダ計算とチューリングマシンはどちらも同じクラスの数論関数を計算しますが、考えられるすべての点で正確に同等ではないことを指摘したいと思います。たとえば、実現可能性理論には、チューリングマシンでは実現できるが、ラムダ計算では実現できないステートメントがあります。そのような声明の1つは、正式な教会の論文であり、次のように述べられています。

\forall f : n a t \to n a t \exists e \forall n \exists k (T (e, n, k) \land U (k, f (n)))

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

$\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ 。これを行うことはできません（別の質問として質問した場合、その理由を説明できます）。

— アンドレイ・バウアー
ソース

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T_{E} X

$T_EX$

Andrej、ウィキペディアの記事では、使用しているパラメーターの順序が異なります。2番目の引数は入力、3番目は計算を停止するコード、1番目の引数はマシンのコードです。私はあなたがCTを述べていると思います、私はvDT88に基づいてそれを編集しました。

— カヴェー

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

@Kaveh：私はそれが逆であったと思いますが、ラムダ計算の場合に入力と同じタイプの出力を持つこともなぜ自然ではないのだろうかと思います。

— アベルモリナ

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f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

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それらは数学的にも歴史的にも関連しています。

ラムダ計算は、1928-1929年にアロンゾ教会（1932年に公開）によって開発されました。

チューリングマシンは、1935年から1937年にアランチューリングによって開発されました（1937年に公開されました）。

アラン・チューリングはアロンゾ教会の博士号でした。1936年から1938年までプリンストンの学生。

チューリングマシンとラムダ計算は計算能力が同等です。それぞれが効率的に他をシミュレートできます。

— マット・マイト
ソース

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Entscheidungsproblemは、数学者David Hilbertによって提案された有名な23の問題の1つです。

1936年と1937年にそれぞれアロンゾ教会とアランチューリングは、算術の文が真であるか偽であるかをアルゴリズムで決定することは不可能であることを示す独立した論文を発表しました。

これは、1936年にアロンゾ教会がλ計算に基づいた「効果的な計算可能性」の概念で、アランチューリングがチューリングマシンの概念で同じ年に行ったものです。後に、これらは同等の計算モデルであることが認識されました。-ウィキペディア

したがって、ラムダ計算とチューリングマシンは、密接に関連しているだけでなく、計算の等価モデルです。

また、 The Annotated Turing：A Guided Tour through Alan Turing's Historic Paper on Computability and the Turing Machine by Charles Petzoldもご覧ください。この本は、トピックに関するいくつかの興味深い情報をキャプチャします。

— プラティック・デオガレ
ソース

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チューリングマシンとラムダ計算は、アルゴリズム（機械計算）の概念をキャプチャする2つのモデルです。ラムダ計算は、関数で計算を実行するために教会によって発明されました。これは関数型プログラミング言語の基礎です。基本的に、チューリングマシンで計算可能な（決定可能な）問題はすべて、ラムダ計算を使用して計算することもできます。そのため、2つの同等な計算モデル（多項式係数まで）であり、いずれも機械的計算の能力を獲得しようとします。

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース