決定可能性が不明な単純な問題

私は、学部の数学専攻を対象とした講演の準備をしていますが、その一環として、決定可能性の概念について議論することを検討しています。現在、決定可能または決定不能であることがわからない問題の例を挙げたいと思います。このような問題は数多くありますが、今のところ良い例として際立っているものはありません。

決定可能性が開いている、説明が簡単な問題とは何ですか？

2x2マトリックスのマトリックス死亡問題。すなわち、2 _x 2整数行列M ₁、...、M _kの有限リストが与えられた場合、M _iを任意の順序で（任意の多くの繰り返しで）乗算して、すべて0の行列を生成できますか？

（3x3のケースは決定不能であることが知られています。もちろん、1x1のケースは決定可能です。）

更新：ここで言及した問題は現在、決定不能であることがわかっています！http://arxiv.org/abs/1605.05274 さらに、この論文は、まさにこの答えを読んで触発されました。:)

数学を主な対象とするプログラマーは、「この型は暗黙的にその型に変換可能か？」という質問に驚くかもしれません。Java 5、C＃4、Scala 2のいずれにおいても決定可能であることは知られていません。

詳細については、Andrew KennedyおよびBenjamin Pierceの論文「Nominal Subtyping with Variance」を参照してください。このペーパーでは、これらの言語の型システムに対する追加の制限の例を示します。この場合、名目上のサブタイピングが決定可能または決定不能であることがわかります。

興味深いことに、この論文は一般的な共分散と反分散がC＃に追加されるかなり前に書かれましたが、著者は言語の方向を正しく予測していました。（これは驚くことではありません。著者は、C＃に分散を追加するときに利用したCLRの分散の基礎となるサポートを設計しました！彼らは面倒な作業を行いました。）

ヒルベルトの有理数に関する10番目の問題：「この多項式は有理解を持っていますか？」

線形回帰とその初期値の問題は、値0を取りますか？

2つのリファレンス：

http://terrytao.wordpress.com/2007/05/25/open-question-effective-skolem-mahler-lech-theorem/

http://www.cs.ox.ac.uk/joel.ouaknine/publications/positivity12.pdf

決定可能性が不明な単純な問題は次のとおりです（まだ開いていると思います）。

無限チェス：

入力：チェスの駒の有限リストとチェス盤上の開始位置。質問：ホワイトは強制交配できますか？$Z \times Z$

Whiteが移動（は入力の一部）で合致しなければならないという制約を追加すると、決定可能になります：Dan Brumleve、Joel David Hamkins、およびPhilipp Schlichtを参照してください。無限チェスのmate-in-n問題は決定可能です。$n$$n$

別の単純な問題は、有限初期構成でのラングトンのアリの挙動です。

有限サポートのあるラングトンのアリの行動：

平面上の正方形は、黒または白のさまざまな色で表示されます。1つの正方形を「アリ」として任意に識別します。アリは、各ステップで4つの基本方向のいずれかに移動できます。アリは以下のルールに従って移動します。

• 白い正方形で、90°右に曲がり、正方形の色を反転させて、1ユニット先に進みます
• 黒い四角で左に90°回転し、四角の色を反転させて、1単位前進します

入力：平面とアリの位置の有限構成（黒/白）;
質問：アリは常に無限の「高速道路」の構築を終了しますか？

無限のサポートについては、問題は決定不能です。A。Gajardo、A。MoreiraおよびE. Goles、Langton's antの複雑さを参照してください 。

Collat​​z Problemは、決定可能性がオープンな、説明が簡単な問題です。基本的な算術演算の単純な繰り返しが含まれます。

n / 2 3 n + $f(n)=\mathsf{\{}$ $n/2$偶数の場合は、奇数の場合は $3n+1$

問題は、与えられた正の整数に対して、この関数を繰り返して常に1に戻すかどうかを決定すること。$n_0$

興味深いことに、Collat​​z問題の一般化は決定不能であることが示されました。

参照：

1- 決定不能の問題：サンプラー、ビヨン・プーネン

2- ヴァイスシュタイン、エリックW.「コラッツ問題」。MathWorldから-Wolfram Webリソース。

3- 3X + 1問題：概要、ジェフリーC.ラガリアス

与えられた形状が平面を並べることができるかどうか決定するのが決定可能かどうかは不明 です。

決定可能性論理積クエリの封じ込めは、 20年以上にわたって開いてきました。これを解決することは、データベース理論の突破口になるでしょう。

クエリの封じ込めは、入力の2つのクエリとして受け取りととするかどうかを尋ねるに適用されるすべてのデータベースと少なくとも同数の回答を得同じデータベースに適用されたときに。Q 2 Q 1 I Q 2$Q_1$$Q_2$$Q_1$$I$$Q_2$$I$

で連言クエリ1を使用し、存在量化述語を一緒にリンクします。SQLの用語では、接続クエリは、「=」と「AND」を使用し、サブクエリまたは集計を使用しないSELECT-FROM-WHEREクエリです。これはおそらく最も一般的な種類のデータベースクエリであり、ほとんどの検索エンジンクエリが含まれます。

クエリの包含を潜在的に決定不能にするのは、無限に多くの可能なデータベース定量化です。存在するアルゴリズムは、と間に何らかの準同型性があるかどうかにかかわらず、この無限の数量化を構文上の質問に変えることに依存する傾向があります。Q 1 Q $I$$Q_1$$Q_2$

ORまたはを許可する少し強力な（つまり「高度な」）クエリの場合、クエリの包含は決定できないことが知られています。$\ne$

生成する回答の数をカウントしてクエリを比較するには、自然数の半環を加算と乗算で使用します。クエリの包含は、他の順序付けられたセミリングに一般化することもできます。すべての正の半環について、接続クエリの包含はNPハードです。ただし、人々が気にする以外のほとんどの半環については、接続クエリの包含を決定できます。残念ながら、カウントケースは、結合クエリの包含の決定可能性がまだ開いている半リングのゾーンに分類されます。（N 、+ 、× $(N,+,\times)$$(N,+,\times)$

広範な文献へのポインタと厳密な取り扱いについては、一部の人々によるToDSペーパー（印刷中）を参照してください。

Googlefightをデモンストレーションすることにより、これを技術に詳しくない視聴者にとって魅力的な質問に変えることができます。場合はと論理積クエリがあり、そしていつものように、少なくともとして多くの回答を提供します、後者は構文的に「大きな」（そこから準同型で何とかなるため、それまでは）が、物事はかなり取得しますそこからトリッキー。R Q Q  AND  R $Q$$R$$Q$$Q \text{ AND } R$$Q$

3〜6の固定数のタイルを使用したPostの通信問題。

説明するのは本当に簡単ではありませんが、非常に「遊び心のある」説明があり、直観レベルの会話に適していると思います。

一般化された星の高さの問題：「この正規言語を表現するには、補完が許可された正規表現で、いくつのKleene星をネストする必要がありますか？」

常に1を返すアルゴリズム（決定可能なケースであるスターフリー言語の0を除く）が正しいかどうかさえわかりません。

オートマトン理論からの問題。

入力： DFAバイナリ入力アルファベット上。$D$

質問：ビット列が存在しないように受け付け及びバイナリで素数を表しますか？言い換えれば、空ではありませんか？$x$$D$$x$$x$$L(D) \cap Primes$

コメント：私はもともと、Jeffrey Shallitによるstackexchangeの回答からこの問題を聞きました。それへの参照を知っているなら、私に知らせてください。ありがとうございました！

関連記事：

（1）DFAに関して未解決の問題が残っていますか？

（2）https://cs.stackexchange.com/questions/48084/determining-if-infinite-binary-language-dfas-contain-at-least-1-prime

関連作品： https : //cs.uwaterloo.ca/~shallit/Papers/br10.pdf

C.ブライト、R。デヴィラーズ、およびJ.シャリットによる「素数の最小要素」

間隔の反復マップ（ここからの説明）：

（Magnus Findによって提案された問題に非常に関連しています）

ましょう単位区間に区分線形マップであること、および、この間隔で点。から始まる反復のシーケンスを考えます：、、など。と与えられると、このシーケンスは固定点に達しますか？$F$$x$$x$$x$$F(x)$$F(F(x))$$F$$x$$F$

到達可能性バリアントの決定可能性も不明ですとおよび与えられた場合、から始まるシーケンスは有限の反復でに達しますか？$F$$x$$y$$x$$y$

が2つの直線部分しかない場合でも開いています。$F$

注：この問題を理解するには、と（および）の記述が有限でなければなりません。ここで、は有理であり、勾配とブレークポイントも有理であると仮定します。$F$$x$$y$$x$$F$

参照：2011 Asarin。

次のように少なくとも3つの論文で利用されているこの質問を研究するためのかなり自然な方法/角度があるようです。

せ有するチューリングマシンの集合である状態とシンボル。低/小、マシンは証明可能に決定可能です。より大きいしきい値を超えると、マシンは決定不能になります。ただし、中間領域では、それらが決定可能または決定不能であることは一貫して知られていません（そして、完全なテーブルは、停止問題の同じ決定不能現象に基づいておそらく認識できません）。$TM(k,l)$$k$$l$$k,l$$k,l$

結果は、次の参照のようにグリッドに表示できます。また、中間領域では、一部の（未解決の）マシンが一部の入力のCollat​​z推測をシミュレートできることが実際に知られています。

したがって、ここで動作する現象のような「遷移点」が明らかに存在しますが、計算可能な領域内ではなく、計算可能と計算不可能の間の異常な意味であります。

• 小型チューリングマシンと一般化された忙しいビーバーの競争ミシェル

• 小型の汎用チューリングマシンの複雑さ：調査 Woods、Neary

• タグシステムの可解性と不可解性の境界について。理論と実験結果デ・モル

セルオートマトン、非常に単純なコンピューティングデバイスには、決定不能性に関するさまざまな未解決の質問があります。標準のWolfram CAの一部は普遍的であると推測されています（ただし、推測不可能であると推測されるそれらの簡単なリストは入手できないようです）。特に、CA Rule 54はWolframによってチューリング完全であると推測されています。そこにあるだけでほとんどが今チューリング完全ではないとして解決される基本的なCAは、しかし、少なくとも一つは、比較的最近になって、完全な、チューリングされていることがわかったルール110をチューリング完全にエミュレートするためにCAを使用して、クックによって顕著証拠に、タグシステム。$2^8$

また、「ニアミス」または「TMが完了したため比較的最近解決された未解決の質問」の例として、Wolfram 2,3マシンは2007年に25,000ドルの賞金で証明されました。コンテストは2007年5月に発表され、コンテストは2007年10月に勝者のスミスを発表しました。

ほとんどの未解決の問題を（未）決定可能性の問題にマップするかなり自然な方法があります。一般に、未解決の問題のほとんどは、証明可能または証明不可能であることは知られていません。

ウェブ上では、P vs NP問題の決定不能性に関する非公式の混乱があります。これは厳密には決定問題ではないため、その決定不能性について話すことは技術的に正しくありません。しかし一方で、次のように、決定不能と証明可能性の間には密接/自然なリンクがあるように見えます。

例えば考えて

NP完全問題を解決する DTime TM が存在する場合、文字列/整数が言語内にあるバイナリ文字列の言語$L$$x$$O(n^x)$

この言語は決定可能ですか？これは、決定可能性が開いている言語に関する質問であり、基本的にP対NPの問題とその固有の（非？）証明可能性に密接に結びついています（事実上同一）。

「説明するのは簡単」としてNP対Pのためとして、それだけの概念を必要とするのTM、ビッグOランタイム表記、非決定性かなり単純な（TCSの最も基本的な概念の一部）と、学部レベルで教えまたはその才能のあります高校生が理解できた。

実際、NP対P / Polyも公開されており、同じ方法で決定可能性に関する未解決の質問にマッピングできます。これは、NPを完全に認識するための最小（単調？）回路の成長に関するかなり単純な問題と言えます。問題（例：クリーク）。