自己参照や対角化に依存しない停止問題の決定不能性の証拠はありますか？

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これはに関連した質問です。この1。そこでの多くの議論の後、はるかに単純な形で再びそれを置くと、それは全く異なる質問のように感じました。

停止問題の決定不能性の古典的な証明は、仮想HALT決定子をそれ自体に適用しようとするときに矛盾を示すことに依存します。これは、それ自体が停止するかどうかを決定するが、他のケースの停止の決定可能性に関する情報を提供しないHALT決定者を持つことが不可能であることを示しているだけだと思います。

だから質問は

HALTが自分自身を決定できず、対角化引数にも依存していないことを示すことに依存しない停止問題が決定不能であることの証拠はありますか？

小さな編集：質問の元の表現にコミットします。これは、（HALTに依存する対角化に依存しないことを単に要求するのではなく）ダイアゴナル化にまったく依存しない証明を求めています。

computability lo.logic proofs

— M・アラガン
ソース

対角化引数に依存しないもの、またはHALTを直接使用して対角化しないものを探していますか？ビョルンが提案している証明が前者を満たしているかどうかはわかりません。

— マークReitblatt

@マーク：実際はわかりません。対角化引数が自己参照に対応せず、カーディナリティの不一致などの他の側面に対応する場合、HALT（Q）（Q！= HALT）の終了が決定不能である理由について何らかの洞察が得られることを期待します。。

— M.アラガン

1

さて、その場合、私はより簡単な議論をすることができます。決定不可能な問題（単純なカーディナリティの引数）があり、さらにそのメンバーを認識するTM Mを持つ（ただし、非メンバーで終了しない）未決定の問題Pがあるという観察から始めます。ここで、HALT（M）を解くと、Pの決定者が得られます。まず、Mがxで停止するかどうかを確認します。そうであれば、それを実行してMと同じ値を返します。そうでない場合は、MがPのすべてのメンバーで停止するため拒否します。これは、Pが決定子のない言語であると仮定したため矛盾になりました。

— マークReitblatt

この議論は、実際にはHALTがRE-completeであることの証明です。

— マークReitblatt

1

つかまえた。すべてのTMが決定者である場合、HALTは簡単です。停止が自明ではない（認識者が存在する）場合、（反正により）非自明なHALTの存在は認識側TMを決定者にします。これは、HALTが自明で矛盾することを意味します。そのため、このようなHALTはすべての認識エンジンに存在することはできません。これは素晴らしいです。素晴らしいコメントをありがとう。あなたは答えとしてそれを再投稿したいかもしれません:)

— M.アラガン

31

はい、計算可能性理論（再帰理論）にはそのような証明があります。

$0'$ $G\subseteq\mathbb N$ $\Sigma^0_1$ $G$ $G$ $G$

同じ効果を得るために、ここで1- genericを1-random、つまりMartin-Löfrandomに置き換えることができます。これは、Jockusch-Soare Low Basis Theoremを使用します。

$0'$ $\Omega$ $\Omega$

— ビョルン・ジョス・ハンセン
ソース

とても興味深い！それをより理解できるように検索するための参照またはキーワードのセットを提供できますか？どうもありがとう！

— M.アラガン

6

@M。Alaggan：最高の参考文献は、AndréNies、Computability and Randomness、Oxford Logic Guides、Oxford University Press、2009年の最近の本かもしれません。LowBasis Theoremに関するWikipediaの記事とAlgorithmic Randomnessに関するScholarpediaの記事もあります：scholarpedia.org / article / Algorithmic_randomness

— ビョルンジョスハンセン

@M。Alaggan、それはあなた次第ですが、投票はこれが受け入れられた答えであるべきであることを示唆します。

— モハマドアルトルコ

私はメタで尋ねました（meta.cstheory.stackexchange.com/questions/642/when-is-it-it-appropriate-to-change-the-accepted-answerを確認してください）。この答えは確かに素晴らしいものであり、非常に便利です。しかし、他の方法を受け入れました。より直感的なアプローチで理解する方がはるかに簡単だったからです。ただし、その正確性については上記の議論があるようです（！）。したがって、それが間違っていることが判明した場合、実際にこの答えに変更します。混乱は、すべての対角化ではなく、HALTを使用した対角化を回避したいという元の質問に具体的でないことから生じました。

— M.アラガン

抜群の素晴らしい答えと簡単で直感的な答えのどちらかを選択しているので、今のところ、私はどちらを受け入れるべきかについて非常に混乱しています（私の背景はあまり堅実ではありません）。だから、難しい気持ちはしないでください:)私たちはそれについて議論し、すべてに満足のいく決定を下すことができます。ありがとう。

— M.アラガン

5

リクエストごとに私のコメントから再投稿：

決定不可能な問題（単純なカーディナリティの引数）があり、さらにそのメンバーを認識するTM Mを持つ（ただし、非メンバーで終了しない）未決定の問題Pがあるという観察から始めます。ここで、HALT（M）を解くと、Pの決定者が得られます。まず、Mがxで停止するかどうかを確認します。そうであれば、それを実行してMと同じ値を返します。そうでない場合は、MがPのすべてのメンバーで停止するため拒否します。これは、Pが決定不能であると仮定したため矛盾になります。

注：彼は、対角化を完全に回避する引数ではなく、HALTを直接使用して対角化を回避する引数を探していることを明確にしました。

編集：この引数はスタックしています。HALTが存在することを示すことに加えて、RE-RECが空でないことを直接示すことができますか？

— マーク・ライトブラット
ソース

可算性の引数は、停止問題の標準的な証明と非常によく似た（わずかに単純な）対角化を使用します。（つまり、言語のカーディナリティがTMのカーディナリティよりも大きいことを示すために、対角化を使用しています。）：）

— ジョシュアグロチョウ

@Joshuaコメントを読んでください。彼は、対角化を回避する証拠を探しているのか、HALTを使用して対角化を回避しているだけの証拠を探しているのかを尋ねました。彼は後者を探しています。

— マークReitblatt

@マーク：ああ、私はそれを見逃した。ありがとう。+1

— ジョシュアグロチョウ

4

@マーク：何かはっきりさせてください。まず、認識できない決定不能な問題Pがあることに気づき、HALTが決定可能であれば、Pの決定者を構築できることを観察します。 HALTの決定不能性は、そのような問題の存在を実証するために使用されます。P。HALTの決定不能性を使用せずに、決定不能であるが認識可能な問題の存在を示すことができますか？

— カート

2

認識できるが決定できない問題が存在するという事実は、停止する問題がそのような問題であることを示すことによっておそらく最も簡単に証明されます。その場合、あなたは始めたところに戻ります。数え切れないほど多くの認識可能な言語があります。

— ビョルンジョスハンセン

2

別のポスターはこれをほのめかしました（Chaitinを参照）が、Berryパラドックスを使用して、停止する問題が決定不能であることを証明できます。証拠の簡単なスケッチを次に示します。

HALTを、マシンIが入力Iで停止するかどうかを決定するマシンとします。特定の入力でHALT自体が停止しないことを示し、言語を決定できないことを示します。

次の関数fを考えます。

f（M、n）= a、ここでaは最小の正の整数で、| I |を持つ入力IのマシンMで計算できない <n

HALTが計算可能な関数であると仮定すると、fも計算可能な関数です。すべてのマシンMのHALT（M、I）をシミュレートし、長さがI未満の文字列Iを入力します。シミュレーションが停止した場合、M（I）をシミュレートして出力を記録し、M、nペアのいずれによっても出力されない最小の出力aを見つけます。

ここで、fが計算可能でないことを示します。f（f、10000000 * | f | +10000000）を考えます。出力が何であれ、それは与えられた長さより短い入力Iでfを計算するマシンでは計算できない（正の）整数でなければなりません...そしてまだfとはるかに短いそのような整数を出力しました入力。

したがって、fは計算可能ではないため、HALTが計算可能であるという仮定は誤りです。私はこの証明が対角化を利用するとは思わない。

— フィリップ・ホワイト
ソース

Whatever it outputs, it ought to be an integer that is not computable by the machine computing f on input I with length less than that given.

> n

$>n$

n

$n$

5

私は失礼になろうとはしていませんが、あなたの反対は意味がありません。関数fは、nより短い長さの入力でMが計算できない整数を出力する関数として定義されます。したがって、モジュラー算術への無意味な訴えはさておき、強調した文が無効であることを示すのは難しいでしょう。

— フィリップホワイト

@johneフィリップに同意します。マシンの表現の限界についての仮定はありません。これはTMです。

— マークReitblatt

@Philipマイナー技術修正：整数を自然または正の整数に変更する必要があります。

— マークReitblatt

1

f

$f$

f

$f$

0

$\{W_e\}_{e=1}^{\infty}$ $f$ $e$ $W_e = W_{f(e)}$ $0$ $f$ $e$ $0$ $W_e$ $0$ $e$ $W_e(0)$ $W_{f(e)}(0)$

6

これは標準の対角化証明です。

— ユヴァルフィルマス