効率的な計算のためのプログラミング言語

すべての入力で停止し、他の入力で停止するすべてのマシンを許可するプログラミング言語を記述することは不可能です。ただし、このようなプログラミング言語を標準の複雑度クラスに簡単に定義できるようです。特に、すべての効率的な計算と効率的な計算のみを表現できる言語を定義できます。

たとえば、ようなものの場合、お気に入りのプログラミング言語を使用し、プログラムを記述した後（Turing Machine対応）、ヘッダーに3つの値を追加します：整数、整数、およびデフォルト出力。プログラムがコンパイルされると、出力チューリングマシン入力与えられたのサイズの実行上のためのステップ。ステップが開始する前にが停止しない場合、デフォルトの出力出力しますM ′ c k d M x n M ′ x c n k M ′ c n k d $P$$M'$$c$$k$$d$$M$$x$$n$$M'$$x$$c n^k$$M'$$c n^k$$d$。誤解がない限り、このプログラミング言語を使用すると、すべての計算を表現できます。ただし、この提案された言語は本質的に興味のないものです。$P$

私の質問：計算可能な関数（すべての効率的に計算可能な関数など）のサブセットを非自明な方法でキャプチャするプログラミング言語はありますか？ない場合、これには理由がありますか？

多項式時間の計算のみを表現しようとする1つの言語は、ソフトラムダ計算です。型システムは線形論理に根ざしています。最近の論文では、多項式時間計算に取り組んでおり、このアプローチに基づいた最近の開発の概要を示しています。マーティン・ホフマンはかなり長い間このテーマに取り組んできました。関連する論文の古いリストはこちらにあります。彼の論文の多くはこの方向に続いています。

他の作業では、依存型または型付きアセンブリ言語を使用して、プログラムが特定の量のリソースを使用していることを確認するアプローチを取ります。

さらに他のアプローチは、アンビエント計算の変形など、リソースに制限された形式計算に基づいています。

これらのアプローチには、適切に型付けされたプログラムが事前に指定されたリソースの境界を満たすという特性があります。リソースバウンドは時間またはスペースであり、通常は入力のサイズに依存します。

この分野での初期の仕事は、計算を強く正規化することです。つまり、すべての適切に型付けされたプログラムは停止します。システムF（別名多相ラムダ計算）は強く正規化されています。固定小数点演算子はありませんが、それでも非常に表現力がありますが、どの複雑度クラスに対応するかはわからないと思います。定義上、強く正規化された計算は、何らかの終了計算のクラスを表します。

プログラミング言語チャリティは、すべての入力で停止する非常に表現力豊かな関数型言語です。どの複雑なクラスを表現できるかわかりませんが、Ackermann関数はCharityで記述できます。

プログラミング言語を使用して対数空間と多項式時間の2つの特性化を提案したGuillaume Bonfanteの論文をご覧ください。

Guillaume Bonfante、LogspaceおよびPtimeのプログラミング言語、AMAST 2006、LNCS 4019、pp。66-80、2006

また、暗示的な複雑性理論をこれへのアプローチとして言及したいと思います。それは、いくつかのやや関連する質問で出てくるのを見たからです。Neel Krishnaswamiによるこの回答を引用するには：

基本的な手法は、複雑度クラスを線形論理のサブシステム（いわゆる「軽い線形論理」）に関連付け、論理システムのカット除去を特定の複雑度クラス（LOGSPACE、 PTIMEなど）。次に、Curry-Howardを介して、指定されたクラスのプログラムを正確に表現できるプログラミング言語を取得します。

誰も原始再帰について言及していないことに驚いています。制限されたループに制限することにより（つまり、ループを開始する前に各ループの反復回数を計算する必要があります）、結果のプログラムはプリミティブな再帰的であり、したがって合計です。Douglas Hofstadterは、すべてのプリミティブな再帰関数のみを許可するプログラミング言語BLOOPを提案しました。

PTIMEプログラミング用の言語PolaおよびPTIME算術に関するJaparidzeの作品も参照してください。例：http : //arxiv.org/abs/0902.2969