真の乱数発生器：チューリング計算可能？

「真にランダムな」数の生成がチューリング計算可能かどうかの決定的な答えを探しています。これを正確に表現する方法がわかりません。 「乱数生成のための効率的なアルゴリズム」に関するこのStackExchangeの質問は、私の質問に答えるところです。チャールズ・スチュワートは彼の答えで、「それ（マーティン・ロフの乱雑さ）は機械によって生成することはできません。ロス・スナイダーは、「決定論的なプロセス（チューリング/登録マシンなど）は、「哲学的」または「真の」乱数を生成することはできません。」真の乱数ジェネレーターの構成要素について明確で受け入れられている概念はありますか？もしそうなら、それはチューリング機械によって計算できないことが知られていますか？

おそらく関連する文献を示してくれれば十分でしょう。あなたが提供できる助けをありがとう！

編集。知識豊富な答えをしてくれたIanとAaronに感謝します！私はこの分野では比較的学校に通っていませんが、支援に感謝しています。この補遺で質問を少し拡張することができます：ランダム性の純粋なソース（オラクル？）にアクセスできるTMは、古典的なTMではできない関数を計算できるのでしょうか？

私は議論にかなり遅れて参加していますが、以前に尋ねられたいくつかの質問に対処しようとします。

まず、アーロン・スターリングが観察したように、「真にランダムな」数値の意味を最初に決定することが重要です。特に、計算の複雑さや計算可能性の観点から物事を見ている場合は重要です。

しかし、複雑性理論では、人々は主に擬似乱数性と擬似乱数ジェネレーター、つまり、文字列から文字列への関数に興味があり、出力シーケンスの分布が効率的なプロセスによって均一な分布と区別できない（効率のいくつかの意味を考慮することができます、例えば、ポリタイム計算可能、多項式サイズの回路など）。それは美しく、非常に活発な研究分野ですが、ほとんどの人は、研究対象が真にランダムではなく、単にランダムに見えるだけで十分であることに同意すると思います（「疑似」という用語）。

計算可能性理論では、コンセンサスが「真のランダム性」の良い概念になるはずであり、実際に勝ったのはマーティン・ロフのランダム性の概念です（他のものが提案されており、研究するのは興味深いが、すべてを公開しているわけではありません） Martin-Löfランダムネスが持つ素晴らしい特性）。問題を単純化するために、無限バイナリシーケンスのランダム性を考慮します（文字列から文字列への関数などの他のオブジェクトは、そのようなシーケンスで簡単にエンコードできます）。

$\alpha$

$1/2$$0$$\alpha$
$k$$w_{k,0}$$w_{k,1}$$U_k$$w_{k,i}$$2^{-k}$$G=\bigcap_k U_k$$0$$\alpha$

この定義は技術的に思えるかもしれませんが、いくつかの理由から正しい定義として広く受け入れられています。

• 十分に効果的です。つまり、その定義には計算可能なプロセスが含まれます。
• 十分に強力です：確率論の教科書（多数の法則、反復対数の法則など）にある「ほぼ確実な」特性は、Martin-Löfテストでテストできます（ただし、これを証明するのは難しい場合があります）
• 異なる定義（特にコルモゴロフの複雑さを使用したレビン・シャイチンの定義）を使用して、複数の人々によって独自に提案されています。そして、それらがすべて同じ概念につながるという事実は、正しい概念でなければならないというヒントです（チューリングマシン、再帰関数、ラムダ計算などを介して定義できる計算可能な関数の概念に少し似ています）
• その背後にある数学的理論は非常に素晴らしいです！コルモゴロフの複雑性とその応用（LiとVitanyi）、アルゴリズムのランダム性と複雑性（ダウニーとヒルシュフェルト）計算可能性とランダム性（Nies）の3つの優れた書籍を参照してください。

Martin-Löfのランダムシーケンスはどのように見えますか？まあ、完全にバランスの取れたコインを取り、それを反転し始めます。各フリップで、ヘッドに0を、テールに1を書き込みます。時間の終わりまで続けます。それがマーティン・ロフのシーケンスのようです:-)

$\alpha$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$k$$a_k$$\alpha$$k$$2^{-k}$$U_k$${\alpha}$

$\alpha$$\beta$$\alpha$$n$$n-O(1)$$\beta$$n$$\alpha$

さて、今はジョセフの質問の「編集」部分です。ランダム性の純粋なソース（オラクル？）にアクセスできるTMは、古典的なTMではできない関数を計算できるのでしょうか？

$f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$f$$n$$n$

$f$$f$$n$$n$$f$$\epsilon >0$$\sigma$$\sigma$$f$$\sigma$

あなたの質問に答えるためには、「おそらく計算可能」と「効果的に計算可能」を区別する必要があります。「ランダムプロセス」を「所有するリソースに関係なく予測できないプロセス」と定義し、「決定論的プロセス」を「予測可能なプロセス」と定義し、（多くの）リソースへの入力とアクセスが与えられると、チューリング計算機関数を知っていてそれをシミュレートすれば、プロセスの次の「実験」の結果を常に予測できるため、チューリングの計算可能な関数はランダムになりません。

このフレームワークでは、Martin-Lofテストは決定論的プロセスと見なすことができ、ランダムシーケンスの定義は、Martin-Lofテスト/ Turing計算可能/決定論的プロセスによって動作が予測されないシーケンスです。

しかし、これは「現実の世界でランダムシーケンスを効果的に計算できるのか？」という疑問を投げかけます。実際、ここには業界があります。物理システムなどのコンピューターシミュレーションを実行するために使用される数十億のランダム（？）ビットを含む発行済みのCDがあります。これらのCDは、一連のビットが一連のMartin-Lofテストに合格することを保証します。The Drunkard's Walk：How Randomness Rules our our Livesという本は、この問題についてポップサイエンスの説明を詳細に提供しています。

無関係な点：私はあなたのコラムを楽しんでいます。:-)

直観的に、「ランダム」は「予測不能」を意味し、チューリングマシンによって生成されるシーケンスはマシンを実行することで予測できるため、チューリングマシンは「真にランダムな」数値を生成できません。ランダムシーケンスにはいくつかの正式な定義があり（文字列の長さが無限になったときにのみランダム性が意味をなす）、それらはすべて本質的に同等です。おそらくこれらの中で最も自然なのは、シーケンスが確率論のためのすべての計算可能な統計的テストに合格することを意味するMartin-Lofランダム性と、すべての初期サブシーケンスが非圧縮性であることを意味するChaitinランダムです（より具体的には、コルモゴロフの複雑さが高い）。これらの定義の両方で、ランダムシーケンスの生成とそれらの認識の両方を計算することはできません。本「情報とランダム性：

ランダムな数字を生成する算術的な方法を検討する人は、もちろん罪の状態にあります。なぜなら、何度か指摘されているように、乱数のようなものはありません。乱数を生成する方法しかなく、もちろん厳密な算術手順はそのような方法ではありません。—ジョン・フォン・ノイマン

誰もあなたの補遺に答えていないようですので、私はそれに挑戦します：

この補遺で質問を少し拡張することができます：ランダム性の純粋なソース（オラクル？）にアクセスできるTMは、古典的なTMではできない関数を計算できるのでしょうか？

質問をより正確にしようとしてから答えます。（私のバージョンはあなたが念頭に置いていたものではないかもしれませんので、そうでない場合はお知らせください。）

乱数ジェネレーターにアクセスできる決定論的なTMがあります。このTMは、何らかの方法で乱数ジェネレーターを使用して、何らかの関数（実際の関数、つまり入力空間から出力空間への決定論的マップ）を計算します。

だから、ランダム性へのアクセスを持つTMはエラーを犯すことができますか？そうでない場合、DTMはどのランダムビットが供給されたとしても正しい答えを返さなければなりません。この場合、ランダムな文字列を00000にすることができるため、ランダムなビットは不要です。

$f_i(x,r)$$f_i$$r$

「編集質問」に関して：計算可能性や複雑さについて尋ねている場合、それは大きな違いになります。TMに複雑な境界がある場合、いわゆるランダムオラクルモデルを取得します。TMが任意の大規模で有限のリソースを使用できる場合、相対的なランダム性の世界にいます。チューリング度と同様に、オラクルのランダム性階層があります。（サイドポイント：KoblitzとMenzesによる（非）有名な批評の1つは、ランダムなオラクルモデルの使用に関するものであったため、メタ質問は最近の学術的な議論に触れています。）

私はまだあなたの修正された質問、特にあなたがTMに課している制限を理解しようとしています。したがって、この答えはあなたが望んでいるものに正確に到達しないかもしれませんが、多分物事を狭めるのに役立つでしょう。

凸体の体積を決定論的に準指数因子で近似すると、無条件に不可能な結果になることがわかっています（これはBárányとFürediによる古い結果です）。対照的に、サンプリングを使用してこの問題のFPRASを取得できます。これはあなたが探している分離の例ですか？