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計算の複雑さのクラスとその関係

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ノルベルト・ブルムの2017証拠があることである
Norbert Blumは最近、ある38ページの証拠を投稿しました。それが正しいか？P≠ NPP≠NPP \ne NP また、トピックについて：他のどこで（インターネット上）その正確性が議論されていますか？ 注：この質問テキストの焦点は時間とともに変化しました。詳細については、質問のコメントを参照してください。
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人間の心がすぐに達成できることと最も密接に関連する複雑性クラスは何ですか？
この質問は私がしばらく疑問に思っていたものです。 P対NPの問題を説明するとき、クラスNPを創造性と比較することがよくあります。彼らは、モーツァルト品質の交響曲（NPタスクに類似）の作成は、すでに作成された交響曲がモーツァルト品質（Pタスクに類似）であることを検証するよりもはるかに難しいように見えることに注意します。 しかし、NPは本当に「創造性クラス」ですか？他の候補者はたくさんいませんか？「詩は決して終わらない、捨てられるだけだ」という古い格言があります。私は詩人ではありませんが、これは、すぐに検証できる明確な正しい答えがないという考えを連想させます... NPやSATよりもcoNPやTAUTOLOGYなどの問題を思い出させます。私が得ているのは、詩が「間違っている」ときは改善する必要があるときは簡単に検証できるが、詩が「正しい」または「完成した」ときは検証が難しいということだと思います。 確かに、NPは、創造性よりも論理と左脳的思考を思い起こさせます。証明、エンジニアリングの問題、数独パズル、および他のステレオタイプの「左脳問題」は、詩や音楽よりもNPであり、品質の観点から検証しやすいです。 だから、私の質問は次のとおりです。どの複雑さのクラスが、人間が心で達成できることの全体を最も正確にキャプチャしますか？おそらく左脳が近似のSATソルバーではなく、右脳が近似のTAUTOLOGYソルバーではない場合、私は常にぼんやりと考えました（そして、私の推測を裏付ける科学的証拠はありません）。おそらく、心の問題を解決するために心が設定されています...または、おそらくPSPACEの問題を解決することさえできます。 上記で考えを述べました。私は誰もこれについてより良い洞察を提供できるかどうかについて興味があります。私の質問を簡潔に述べるために、私はどの複雑さのクラスを人間の心が成し遂げることができるか、そしてあなたの視点を支持する証拠または議論のために関連付けるべきかを尋ねています。または、私のクセテーションが不適切であり、人間と複雑さのクラスを比較することが意味をなさない場合、なぜこれが当てはまるのでしょうか？ ありがとう。 更新：タイトル以外のすべてを上に残しましたが、ここで私が本当に尋ねることを意図した質問があります：どの複雑さのクラスは人間の心が迅速に達成できることに関連していますか？「多項式時間」とは何ですか？明らかに、無限の時間とリソースが与えられた場合、人間はチューリングマシンをシミュレートできます。 答えはPHまたはPSPACEのどちらかだと思いますが、なぜそうなのかについて理性的で首尾一貫した議論を明確に述べることはできません。 注：私は主に、人間が近似できる、または「ほとんどの場合」できることに興味があります。明らかに、SATの難しいインスタンスを解決できる人はいません。心がおおよそのXソルバーであり、クラスCのXが完全な場合、それは重要です。
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P = PHを超えてP = NPを増幅できますか？
で記述複雑さ、Immermanあり 系譜7.23。次の条件は同等です 。1. P = NP。 2.有限の順序付けられた構造、FO（LFP）= SO以上。 これは、P = NPを（おそらく）より複雑なクラスの同等のステートメントに「増幅」するものと考えることができます。SOは多項式時間階層PHをキャプチャし、FO（LFP）はPをキャプチャするため、P = PHの場合、これはP = NPと考えることができます。 （これの興味深い部分は、P = NPがP = PHを意味するというステートメントです。NPを含むすべてのクラスCCでP = CCがP = NPを意味することは簡単です。Immermanは単に「if P = NP then PH = NP」おそらく、P = NPをPHのオラクル定義とともに使用して、階層全体が崩壊することを帰納的に示すことができるからです） 私の質問は： この方法でP = NPをさらに増幅できますか？ 特に、P = NPがP = CC 'を意味する最大の既知のクラスCC'と、P = NPがCC = NPを暗示する最小のクラスCCとは何ですか？これにより、P = NPを同等の質問CC = …
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結果どのようなもの
我々は知っているL⊆NL⊆PL⊆NL⊆P\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}とそのL⊆NL⊆L2⊆L⊆NL⊆L2⊆\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq polyLpolyL\mathsf{polyL}、L2=DSPACE(log2n)L2=DSPACE(log2⁡n)\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)。また、polyL≠PpolyL≠P\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}後者は、対数空間の多対1削減の下で完全な問題を抱えているのに対し、前者はそうではないからです（空間階層定理のため）。間の関係を理解するために、polyLpolyL\mathsf{polyL}とPP\mathsf{P}、それが第一の関係を理解するのを助けることができるL2L2\mathsf{L}^2及びPP\mathsf{P}。 結果どのようなものL2⊆PL2⊆P\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}？ どのような強い程度Lk⊆PLk⊆P\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}のためk>2k>2k>2、またはより弱いL1+ϵ⊆PL1+ϵ⊆P\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}のためのϵ>0ϵ>0\epsilon > 0？
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ソリューションの一意性により見つけやすくなる例
複雑度クラスは、最大で1つの計算パスを受け入れる多項式時間非決定性チューリングマシンによって決定できるN P問題で構成されます。つまり、ソリューションは、この意味でユニークです。すべての可能性は非常に低いと考えられているU Pの -problemsがであるPによってため、ヴァリアント-Vazirani定理これが崩壊暗示N P = R Pを。UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP}UPUP\mathsf{UP}PP\mathsf{P}NP=RPNP=RP\mathsf{NP}=\mathsf{RP} 一方、問題は -completeであるとは知られていないため、独自のソリューション要件により、さらに簡単になっていることが示唆されます。UPUP\mathsf{UP}NPNP\mathsf{NP} 一意性の仮定がアルゴリズムの高速化につながる例を探しています。 たとえば、グラフに一意の最大クリークがあることがわかっている場合、グラフの問題を見て、グラフの最大クリークをより速く見つけることができますか（おそらく指数関数的な時間で）。一意の彩色性、一意のハミルトニアンパス、一意の最小支配セットなどはどうでしょうか。kkk 一般的に、我々はユニークな解のバージョンを定義することができます任意の にそれらを縮小、-complete問題を。一意性の仮定を追加するとアルゴリズムが高速になることは、それらのいずれかで知られていますか？（それがまだ指数関数のままであることを許可します。）U PNPNP\mathsf{NP}UPUP\mathsf{UP}
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DOES意味するものでは？
私が理解している限り、幾何学的複雑性理論プログラムは、複雑な値の行列のパーマメントが行列式よりも計算がはるかに難しいことを証明することにより、を分離しようとします。VP≠ VNPVP≠VNPVP \neq VNP GCT論文をざっと読んだ後の質問：これはすぐに意味するのでしょうか、それとも単にこの目標に向けた大きな一歩ですか？P≠ NPP≠NPP \neq NP
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証明可能な正しいプログラムについて私たちは何を知っていますか？
コンピュータープログラムの複雑さの増大と、コンピューターの社会における重要性の高まりにより、コードが正しく機能することを正式に証明しなければならないプログラミング言語をまだまとめて使用しないのはなぜなのか疑問に思います。 私はこの用語が「証明コンパイラ」であると信じています（ここで見つけました）：プログラミング言語をコンパイルするコンパイラで、コードを書くだけでなく、コードの仕様を述べ、コードが準拠していることを証明する必要があります仕様（または自動化された証明者を使用してそうする）。 インターネットを検索しているときに、非常に単純なプログラミング言語を使用しているプロジェクト、または現代のプログラミング言語に適応しようとする失敗したプロジェクトのみを見つけました。これは私の質問につながります： 本格的なプログラミング言語を実装する認定コンパイラはありますか、またはこれは非常に難しい/理論的に不可能ですか？ また、私は、任意の複雑性クラスのような証明可能なプログラム、関与見ていました「証拠が存在するチューリングマシンですべての言語のクラスを決定可能なこと、このチューリングマシンの停止」私が呼ぶ、するアナログとして、、再帰言語のセット。ProvableRProvableRProvableRRRR このような複雑なクラスを勉強することの利点を見ることができます：たとえば、の場合、Halting問題は決定可能です（明白な方法で定義されたは、それが決定可能な言語の最大クラスになると推測し）。さらに、実際に役立つプログラムを除外することはできないと思います。終了を証明できない場合に誰がプログラムを使用するでしょうか？ProvableRProvableRProvableRProvableREProvableREProvableRE 私の2番目の質問は： 含まれる言語に特定のプロパティがあることを証明することを要求する複雑性クラスについて何を知っていますか？
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ラムダ計算によるPおよびNPクラスの説明
導入および説明では、PおよびNP複雑度クラスは、チューリングマシンを介してしばしば与えられます。計算モデルの1つはラムダ計算です。計算のすべてのモデルが同等であることを理解しています（そして、チューリングマシンの用語で何かを導入できるなら、計算のモデルの用語でこれを導入できます）が、ラムダ計算による説明のアイデアPおよびNP複雑度クラスを見たことはありません。チューリングマシンを使用せず、計算モデルとしてラムダ計算のみを使用して、概念PおよびNPの複雑度クラスを誰でも説明できます。
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セマンティッククラスと構文の複雑度クラス
「計算の複雑さ」の本で、Papadimitriouは次のように書いています。 RPは、ある意味で、新しく珍しい種類の複雑さのクラスです。RPで言語を定義する際に、多項式で囲まれた非決定性チューリングマシンを使用することはできません。マシンNがRPで言語を定義するために、それはすべての入力でそれが満場一致で拒否するか、または多数で受け入れる驚くべき特性を持たなければなりません。ほとんどの非決定的マシンは、少なくとも一部の入力に対して他の方法で動作します...マシンが常に認証済みの出力で停止するかどうかを判断する簡単な方法はありません。PやNPなどの構文クラスとは対照的に、非公式にこのようなクラスをセマンティッククラスと呼びます、適切に標準化されたマシンが実際にクラスの言語を定義しているかどうかを表面的なチェックですぐに確認できます。 数ページ後、彼は次のように指摘しています。 すべての入力xに対して、入力xでのNの計算の半分以上が受け入れられる場合、すべての入力xについてような非決定的多項式境界チューリングマシンNがある場合、言語LはクラスPPにあります。Nは多数決によって L を決定すると言います。X ∈ Lバツ∈Lx \in L 質問1：なぜPapadimitriouはPPが構文クラスであると結論付けているのに、その定義はRPの定義とわずかに異なるだけですか？ 質問2：複雑性クラスの「意味的」であることは、完全な問題を持たないことと同等であるか、完全な問題の欠如は、意味クラスが所有する特性と考えられているか？ 編集：関連トピックを参照してくださいすべての複雑度クラスにはリーフ言語の特性がありますか？
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不均一性の不合理な力
常識的な観点から、非決定性を追加すると、その能力が大幅に拡大する、つまりがよりもはるかに大きい と考えるのは簡単です。結局、非決定性は指数並列性を可能にしますが、これは間違いなく非常に強力に見えます。 N P PPP\mathsf{P}N PNP\mathsf{NP}PP\mathsf{P} 一方、に不均一性を追加して取得する 場合、直観はあまり明確ではありません（発生する可能性のある非再帰言語を除外すると仮定します））。入力長が異なるだけで異なる多項式時間アルゴリズムを許可する（ただし、再帰領域を残さない）ことは、非決定性の指数並列処理よりも強力ではない拡張機能であると期待できます。P / p o l y P / p o l yPP\mathsf{P}P / p o l yP/poly\mathsf{P}/polyP / polyP/poly\mathsf{P}/poly 興味深いことに、これらのクラスを非常に大きなクラスと比較すると、次の直観に反する状況が見られます。は適切に含まれていることがわかっていますが、これは驚くことではありません。（結局、は二重の指数関数的並列処理を許可します。）一方、現在のところ除外することはできません。N E X PN E X PNEXP\mathsf{NEXP}N E X PNEXP\mathsf{NEXP} N E X PN PNP\mathsf{NP}N E X PNEXP\mathsf{NEXP}N E X P ⊆ P / …
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最大公約数の複雑さ（gcd）
次のカウント問題（または関連する決定問題）を検討してください。バイナリでエンコードされた2つの正の整数が与えられた場合、それらの最大公約数（gcd）を計算します。この問題が含まれる最小の複雑度クラスは何ですか？参照を提供できますか？ この質問では、主に実行時間の漸近的な境界ではなく、複雑さのクラスに興味があります。ACに問題はありますか？AC0にないことが証明できますか？ここで関連するP内の他の複雑度クラスとは何ですか？
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vs
複雑性理論の中心的な問題は、おそらく対N Pです。PPPNPNPNP 自然は、量子あるので、しかし、クラスを検討するために、より自然思わ（すなわち決定問題はすべてのインスタンスの最も1/3でのエラー確率で、多項式時間で量子コンピュータで解ける）ANS Q M Aを（N Pの量子等価物）代わりに。BQPBQPBQPQMAQMAQMANPNPNP 私の質問： 1） vs N P問題の解決策は、B Q P vs Q M Aの解決策になりますか？PPPNPNPNPBQPBQPBQPQMAQMAQMA 2）相対化、自然証明、代数化の3つの障壁は、対Q M Aの問題にも適用されますか？BQPBQPBQPQMAQMAQMA
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大きな開かれた複雑さのギャップの問題
この質問は、既知の下限と上限の間に大きなオープンな複雑性のギャップがある問題に関するものですが、複雑性クラス自体のオープンな問題のためではありません。 具体的には、聞かせてのは、問題があり言うギャップクラス （とA ⊆ B場合は一意に定義されていないが、）Aは、私たちが証明することができたために最大クラスであることがある-hard、そしてBが上限知ら最小限であります、つまり、Bに問題を解決するアルゴリズムがあります。この手段は、私たちは、問題があることを見つける終わる場合C -completeとA ⊆ C ⊆ B見つけると対照的に、一般的に、それはしません影響の複雑さの理論をPのためのアルゴリズムN P -complete問題を。A,BA,BA,BA⊆BA⊆BA\subseteq BAAAAAABBBBBBCCCA⊆C⊆BA⊆C⊆BA\subseteq C\subseteq BPPPNPNPNP 私はとの問題には興味がないおよびB = N Pそれはすでにの目的であるので、この質問。A⊆PA⊆PA\subseteq PB=NPB=NPB=NP 可能な限りギャップクラスの問題の例を探しています。スコープと正確な質問を制限するために、私は特にに問題に興味を持ってとB ⊇ E X P T I M Eのメンバーシップの両方を意味し、PおよびE X P T I M Eを -completeness現在の知識と整合しています、既知のクラスを崩壊させることなく（このリストのクラスを言う）。A⊆PA⊆PA\subseteq PB⊇EXPTIMEB⊇EXPTIMEB\supseteq EXPTIMEPPPEXPTIMEEXPTIMEEXPTIME
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複雑性の仮定のアンソロジー
The Random Oracle Hypothesis Is Falseの論文では、著者（Chang、Chor、Goldreich、Hartmanis、Håstad、Ranjan、Rohatgi）がランダムオラクル仮説の意味について議論しています。彼らは、複雑性クラス間の分離についてはほとんど知らないと主張し、ほとんどの結果は、合理的な仮定の使用、またはランダムオラクル仮説のいずれかを伴います。最も重要で広く信じられている仮定は、PHは崩壊しないということです。彼らの言葉で： 1つのアプローチでは、PHには無限に多くのレベルがあるという作業仮説を仮定します。したがって、PHが有限であることを暗示する仮定はすべて不正確と見なされます。例えば、カープとリプトンは NP⊆P /ポリ場合、PHが崩壊することを示した。したがって、SATには多項式サイズの回路はないと考えられます。同様に、NPのチューリング完全なセットと多対一の完全なセットはスパースではないと考えています。マハニーはこれらの条件がPHを崩壊させることを示したからです。一つもすることができることを示す任意のkについて≥0、P S A T [ K ] = P S A T [ KΣP2Σ2P\Sigma^P_2は、PHが有限であることを意味します。したがって、すべてのk≥0に対して P S A T [ k ] ≠ P S A T [ k + 1 ]であると考えます。したがって、多項式階層が実際に無限である場合、NPの計算の複雑さの多くの側面を記述できます。PSAT[k]=PSAT[k+1]PSAT[k]=PSAT[k+1]P^{\mathrm{SAT}[k]} = P^{\mathrm{SAT}[k+1]}PSAT[k]≠PSAT[k+1]PSAT[k]≠PSAT[k+1]P^{\mathrm{SAT}[k]} \ne P^{\mathrm{SAT}[k+1]} PHが崩壊しないという仮定の他に、他の多くの複雑な仮定がありました。例えば： ヤオは、以下の仮定の妥当を認める： 。RP⊆⋂ϵ>0DTIME(2nϵ)RP⊆⋂ϵ>0DTIME(2nϵ)RP \subseteq \bigcap\limits_{\epsilon > 0} …
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結果
TCSアマチュアとして、私は量子コンピューティングに関する人気のある非常に入門的な資料を読んでいます。これまでに学んだ情報のいくつかの基本的なビットは次のとおりです。 量子コンピューターは、多項式時間でNP完全問題を解くことが知られていません。 「量子魔法だけでは十分ではない」（Bennett et al。1997）：問題の構造を捨てて、可能な解の空間だけを考えれば、量子コンピューターでさえ√2n2n2^n2n−−√2n\sqrt{2^n}正しいものを見つけるためのステップ（Groverのアルゴリズムを使用） NP完全問題の量子多項式時間アルゴリズムが見つかった場合、何らかの方法で問題構造を活用する必要があります（そうでない場合、箇条書き2は矛盾します）。 このサイトでこれまでに誰も質問していないように見える（基本的な）質問がいくつかあります（おそらく基本的な質問です）。仮定誰かがため有界誤り量子多項式時間アルゴリズム発見こうして確定（または他の任意のNP完全問題）、S A Tの中にB Q Pを、そして暗示N P ⊆ B Q P。SATSATSATSATSATSATBQPBQPBQPNP⊆BQPNP⊆BQPNP \subseteq BQP ご質問 そのような発見の理論的な結果はどれでしょうか？複雑度クラスの全体像にどのような影響がありますか？どのクラスが他のどのクラスと同等になりますか？ そのような結果は、量子コンピューターが古典的なコンピューターよりも本質的に優れたパワーを持っていることを示唆しているように思われます。そのような結果が物理学に与える影響はどれでしょうか？それは物理学の未解決の問題に何らかの光を発しますか？同様の結果の後、物理学は変更されますか？私たちが知っている物理法則は影響を受けるでしょうか？ 問題構造を十分に一般的な方法で（つまり、特定のインスタンスに依存しないで）利用する可能性（またはそうでない）は、P = NPの問題の核心と思われます。さて、有界誤差多項式時間量子アルゴリズムが見つかり、それが問題の構造を利用しなければならない場合、その構造活用戦略は古典的なシナリオでも使用できませんか？そのような構造活用が量子コンピューターでは可能であるが、古典的なコンピューターでは不可能であるという証拠はありますか？SATSATSAT
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