DOES意味するものでは？

私が理解している限り、幾何学的複雑性理論プログラムは、複雑な値の行列のパーマメントが行列式よりも計算がはるかに難しいことを証明することにより、を分離しようとします。$VP \neq VNP$

GCT論文をざっと読んだ後の質問：これはすぐに意味するのでしょうか、それとも単にこの目標に向けた大きな一歩ですか？$P \neq NP$

短い答えは「いいえ」です。そのような意味は知られていない。2つの主な障害があります。算術回路の複雑度からブールの複雑度への移行（VP≠VNPはP / poly≠NP / polyを意味します）、次にブール回路の複雑度（P / poly≠NP / poly）から均一な複雑度（P≠NP ）。これらの手順はどちらも不明です。ただし、P / poly≠NP / polyはVP≠VNPを意味すると考えています。

一般化されたリーマン仮説（GRH）を仮定すると、と多項式階層の崩壊（P H）の間には、次の非常に強いつながりが知られています。$VP= VNP$${\rm PH}$

1. 場合$VP= VNP\,$ （任意のフィールド上）多項式階層は第2レベルに崩壊します。
2. 場合$VP=VNP\,$特性のフィールドにわたって次いで、N C 3 / P O LをY = P / P O LをY = P H / P O リットルY ;$0$$\rm{NC}^3/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$
3. 場合$VP=VNP\,$有限特性のフィールド上、次いでN C 2 / P O LをY = P / P O LをY = P H / P O リットルY。$p$$\rm{NC}^2/{\rm poly}={\rm P}/{\rm poly} = {\rm PH}/{\rm poly}$

これらは、Peter Burgisser、「Cookの仮説とValiantの仮説」、Theorの結果です。比較 Sci。、235：71–88、2000。

参照：Burgisser、「代数的複雑性理論の完全性と削減」、1998

分離が証明しない理由の非公式な理由を説明できます。$P \ne NP$

VPとVNPは、次数が多項式で区切られている代数関数に焦点を当てています。多項式サイズの代数回路を使用すると、指数次数の代数関数で簡単に計算できることに注意してください。

代数回路にはよく知られた1の深さの削減があります。次数多項式を計算する多項式サイズの代数回路は、多項式サイズと深さO （log d log n ）の代数回路に変換できます。$d$$O(\log d \log n)$

はN C 2の代数的変形と考えることができます。したがって、V P ≠ V N Pは、N C 2 ≠ ＃Pの代数的不均一な等価物であることを証明します。それは、少なくともすぐではなく、P = N Pを除外しません。$VP$$NC^2$$VP \ne VNP$$NC^2 \ne \# P$$P = NP$

免責事項：私は今、論文にアクセスすることはできませんし、還元がどの分野でも機能するのか、限られた分野で機能するのか覚えていません。

1 LG Valiant、S。Skyum、S。Berkowitz、C。Rackoff。少数のプロセッサを使用した多項式の高速並列計算。SIAM J. Comput。12（4）、pp.641-644、1983