最大公約数の複雑さ（gcd）

次のカウント問題（または関連する決定問題）を検討してください。バイナリでエンコードされた2つの正の整数が与えられた場合、それらの最大公約数（gcd）を計算します。この問題が含まれる最小の複雑度クラスは何ですか？参照を提供できますか？

この質問では、主に実行時間の漸近的な境界ではなく、複雑さのクラスに興味があります。ACに問題はありますか？AC0にないことが証明できますか？ここで関連するP内の他の複雑度クラスとは何ですか？

@Joe：私の解釈では、質問者は言語{（x、y、i）| gcd（x、y）のi番目のビットは1}がNC、AC0などにありますが、askerによる説明が役立つでしょう。

— 伊藤剛

はい、意思決定の問題に対する剛の言い回しは、私が念頭に置いていたものです。ただし、ここで関連する複雑度クラスがわからないため、提案した複雑度クラスに焦点を合わせないでください。gcdを含むP（またはFP、それぞれ）のサブセットである重要な複雑性クラスに興味があります。

— フェリックス・ブロイアー

ガウス整数の場合について興味があります。Googleのクイック検索では、通常のユークリッドアルゴリズムを適応させる方法が示されていますが、自然数とガウス整数の関係については説明されていません。自然数に対するgcdアルゴリズムは、同じ複雑さのガウス整数に対するアルゴリズムを提供しますか？（私はアプリケーションを持っていません。これは純粋な好奇心です。）また、予想される実行時間が短いGCDを計算するための効率的なランダム化アルゴリズムはありますか？

— ロススナイダー

cstheory.stackexchange.com/questions/2708/…

— ズバンアンブルス

修正されたリンク：mathoverflow.net/questions/44684/...。警告をありがとう、カベ。

— ズバンアンブルス

回答:

これは、複雑性理論における主要な未解決の問題です。GCDをNCで計算できるかどうかは不明であり、GCDの計算がP完全であるかどうかは不明です。最適な並列アルゴリズムには、サブリニア並列実行時間があります。そのようなアルゴリズムの1つはSorensonによるものです。

J.ソレンソン。 2つの高速GCDアルゴリズム。Journal of Algorithms、1994。

私が間違っていなければ、2つの整数がNCで比較的素数であるかどうかを判断できるかどうかさえわかりません。

— ジョン・ワトラウス
ソース

ありがとう、それが私が知りたかったことです！しかし、誰かがgcdを含むことが知られているPの他の重要なサブセットを知っているなら、私に知らせてください。

— フェリックス・ブロイアー

このリファレンスによると、2つの整数が比較的素数であるかどうかのテストも公開されています：並列計算の制限、231ページ、問題B.5.7。

— ロビンコタリ

ごく最近の参考文献は次のとおりです。Sorenson、Jonathan P.「EREW PRAMのランダム化準線形時間並列GCDアルゴリズム」。5（2010年2月）：198-201。linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0020019009003640。

— フェリックスブロイアー

$\mathsf{AC}^0$ $\mathsf{AC}^0[p]$ $p$

— サミD
ソース

参照：cstheory.stackexchange.com/questions/8000/…-SamiD 15

— 1

2007年に発行されたこの論文は、整数GCDはNCにあると述べています。

編集：アサーションはおそらく偽です。コメントを確認してください。

— アポールフグプタ
ソース

論文は決して公開されず、著者のウェブサイトにのみ掲載されました。さらに、著者自身は、2007年の論文が正しいと信じていないようです。彼の問題は後の論文（cs.cornell.edu/courses/CS6820/2012sp/Handouts/Sedjelmaci09.pdf）で未解決としてリストされているためです。

— エミールイェジャベクは

それを知りませんでした。それを指摘してくれてありがとう。

— Apoorvグプタ

私はこの種の答えが否定されるべきではないと思います。

— アレッサンドロコセンティーノ