ノルベルト・ブルムの2017証拠があることである

Norbert Blumは最近、ある38ページの証拠を投稿しました。それが正しいか？$P \ne NP$

また、トピックについて：他のどこで（インターネット上）その正確性が議論されていますか？

注：この質問テキストの焦点は時間とともに変化しました。詳細については、質問のコメントを参照してください。

前に述べたように、Tardosの例はその証拠に明らかに反論しています。T0とT1のCLIQUEと一致する単調関数を提供しますが、Pにあります。証明がこの場合にも適用されるため、証明が正しければこれは不可能です。ただし、間違いを特定できますか？ここに、リプトンのブログの投稿から、証明が失敗した場所と思われるものがあります：

単一のエラーは、定理6の証明の1つの微妙なポイント、つまり31ページのステップ1（およびデュアルケースが説明されている33）にもありますは、などは間違っているようです。 C N F ′（g $C'_g$$CNF'(g)$

これをさらに詳しく説明するには、DNF / CNFスイッチに関するCLIQUEの指数単調な複雑さのRazborovの元々の証明を改めて説明する、BergとUlfbergの証明と近似の方法に入る必要があります。これは私がそれを見る方法です：

論理回路（バイナリOR / ANDゲートのみを含む）のすべてのノード/ゲートは、接続標準形、選言標準形、および近似器およびがあります。添付。とは、ゲート出力の対応する選言的および連言的な正規形です。とも選言形式と連言形式ですが、他のいくつかの機能では、ゲート出力を「近似」します。ただし、各単項式で変数の数を制限する必要がありますβ C N F （G ）D N F （G ）CのK のG D RのGの C N F D N F DのR 、Gの C k個のG Dのr個のGを C K $g$$\beta$$CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$CNF$$DNF$$D^r_g$$C^k_g$$D^r_g$（定数r未満）および各句（定数k未満）。$C^k_g$

この近似で導入される「エラー」の概念があります。このエラーはどのように計算されますか？合計関数が値0をとる入力のセットT0と、合計関数が値1をとる入力のT1（「約束」）にのみ興味があります。今、各ゲートで、私たちは正しく計算されてT0とT1からそれらの入力、見て（両方でとと同じ機能を表し、 -ゲートの出力で）ゲート出力で、とミス/エラーの数を調べますC N F （G ）のG β CとK のG D RのG CとK のG D RのG CのK Gの C k個のG Dのr個の$DNF(g)$$CNF(g)$$g$$\beta$$C^k_g$$D^r_g$、それと比較して。ゲートが接続である場合、ゲート出力はT0からより多くの入力を正しく計算する可能性があります（ただし、T1から正しく計算された入力は減少する可能性があります）。以下のためにシンプルな組み合わせとして定義されている、しかし、これらの入力のすべてに新たなエラーはありません。現在、は CNF / DNFスイッチとして定義されているため、このスイッチからT0に多数の新しいエラーが発生する可能性があります。T1でも、新しいエラーはありません。各エラーはゲート入力のいずれかに存在する必要があり、同様に、スイッチはT1に新しいエラーを導入しません。ORゲートの分析は二重です。$C^k_g$$D^r_g$$C^k_g$$C^k_g$$D^r_g$

そのため、最終近似器のエラー数は、のゲート数に、CNF / DNFスイッチ（T0の場合）またはDNF / CNFスイッチ（T1の場合）によって発生する最大可能エラー数を掛けたものによって制限されます。しかし、エラーの総数が、これはによって囲ま節正連言標準形の性質であるため、少なくとも一つのケース（T0またはT1）の「大」である必要があり Razborovの元の証明（補題のキー洞察ました、 Blumの論文の5）。$\beta$$k$

では、否定を処理するためにBlumは何をしましたか（入力レベルにプッシュされるため、回路はまだバイナリOR / ANDゲートのみが含まれています）？$\beta$

彼のアイデアは、すべての変数が正の場合にのみ、CNF / DNFおよびDNF / CNFスイッチを制限的に実行することです。その後、スイッチはBergとUlfbergの場合とまったく同じように機能し、同じ量のエラーが発生します。これは、考慮する必要がある唯一のケースであることがわかります。

そのため、彼はいくつかの区別をして、ベルクとウルフベルクの線に沿って進みます。回路各ゲートに、、、およびを付加する代わりに、彼は修正、、を付加しますおよび、つまり、およびとは異なると定義した「縮小」選言および連言標準形D N F （G ）C K G D R G G β C N F '（G ）D N F '（G ）C ' k個のG D ' のR 、G、C N F （G ）D N F （g ）C ′ r g D ′ $CNF(g)$$DNF(g)$$C^k_g$$D^r_g$$g$$\beta$$CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^k_g$${D'}^r_g$$CNF(g)$$DNF(g)$「吸収ルール」により、すべての混合単項/節から否定された変数を削除します（Rで示されるこの目的の操作にも使用し、一部の単項/節を完全に削除します。前述のように、Rのやや非公式の定義は実際には問題ではありません、Rは各ゲートに適用されるように正確にすることができますが、削除されるのは前の2つの入力だけでなく、そのゲートに至る回路全体に依存します）、およびその近似器および、彼も紹介しました。${C'}^r_g$${D'}^r_g$

彼は定理5で、単調関数の場合、簡約とは、ルートノード（出力は関数全体の出力）で、セットT1とT0で実際に1と0を計算すると結論付けます。この定理は正しいと思います。 D N F ' 、G 0$CNF'$$DNF'$$g_0$$\beta$

次に、エラーのカウントがあります。各ノードのエラーは、削減されたと（現在2つの異なる関数になっている可能性があります）をとと比較することで計算されると考えられます彼が定義したとおり。近似変数の定義は、変数を否定変数と混合するときのおよび定義（手順1）ですが、正の変数を扱うときは、BergおよびUlfbergの場合（手順2）のようなスイッチを使用します。実際、ステップ2では、以前と同じ数のエラーが発生する可能性があります（同じスイッチであり、関連するすべての変数が正です）。D N F ′（g ）C ′ r g D ′ k g C N F ′ D N F $CNF'(g)$$DNF'(g)$${C'}^r_g$${D'}^k_g$$CNF'$$DNF'$

しかし、ステップ1の証明は間違っていますは、混乱させていると思います。これは、以前の近似（ゲート、）から定義した、および。「そこの違いがあり、それゆえ、声明まだ中に含まれるすべての条項が含ま中で句を使用ゲートgの近似の前や」のようです一般的に間違っています。γ 2 、H 1 、H 2 C N F ' β（H 1）C N F ' β（H 2）、C ' 、Gの C N F ' β（G ）γ ' 1つの γ ' $\gamma_1$$\gamma_2$$h_1$$h_2$$CNF'_\beta(h_1)$$CNF'_\beta(h_2)$$C_g'$$CNF'_\beta(g)$$\gamma_1'$$\gamma_2'$

私はアレクサンダー・ラズボロフに精通しており、アレクサンダー・ラズボロフは以前の研究が極めて重要であり、ブルームの証明の基礎として役立っています。私は今日彼に会えて幸運に恵まれ、この問題全体について、彼が証拠を見たかどうか、そしてもし彼がそれをどう考えているかについての彼の意見を尋ねる時間を無駄にしなかった。

驚いたことに、彼は実際にブルムの論文を知っていたが、最初はそれを読むことを気にしなかったと答えた。しかし、より多くの名声が与えられたので、彼はそれを読む機会を得て、すぐに欠陥を見つけました：すなわち、ベルクとウルフバーグによって与えられた推論はタルドスの機能を完全に保持し、これがそうであるので、ブルムの証拠は必然的に彼の論文の定理6の核と矛盾するため、不正確です。

これは、コミュニティの回答として投稿されます。これは、（a）私自身の言葉ではなく、ソーシャルメディアプラットフォームのLuca TrevisanまたはCSTheory.SEアカウントを持たない他の人からの引用です。（b）誰でも、更新された関連情報でこれを更新してください。

Facebookの公開投稿（2017年8月14日）からLuca Trevisanを引用し、Shachar Lovettが尋ねたこの論文に関する質問に返信します。

Andreevの関数は、超多項式回路の複雑さ（抽象、次にセクション7）を持っていると主張されていますが、有限フィールドでの単変量多項式補間です。

実際、これは必ずしも証明が失敗するポイントではありません。次に、ルカは、以下のアンドリューのコメントに関連した質問の後、次のように回答しました（2017/08/15）：

あなたは正しい、みんな、私はアンドレエフの関数の定義を誤解した：それが多項式補間に帰着することは明らかではない

Karl Wimmerは、Gustav Nordhが指摘した点についてコメントしました（Karlの許可を得て複製）。

$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f = 1$

$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$

（さておき、この片側性は、 上記のグスタフの例と一致しています。）

$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

ここで完全にオフベースになっている場合は、お知らせください！

匿名のユーザーから、カールのポイントに反応して：

DNF 'とCNF'は、単にfのDNFとCNFであり、反対のリテラルのキャンセルが行われるため、それらをより短い形式に減らします。これも論文で説明されており、定義からはやや面倒ですが、それがそうです。定理5は問題ではなく、肉は定理6にあります。

そして、カールによる答え（私はここで再び再現します）：

$f$$g_0$$\mathrm{DNF}(g_0)$$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$f$$\mathrm{DNF'}(g_0)$

$R$$\mathrm{DNF'}(g_0)$$g$$\mathrm{DNF'}(g)$$g$$\mathrm{res}(g)$

$R$$\alpha$$R$

R 、問題がある可能性があります。Deolalikarの証明にも同様の問題があり、2つの異なる定義が混同されていました。ここでは、少なくともDNFの意味を知っています。これがセクション6の問題の原因である場合、追跡するのは簡単です。まだセクション6には進みませんでしたが、セクション4で説明したBergとUlfbergによる近似器による証明を理解する必要があり、最終的には1985年からのRazborovの構築に関連しています。

Rの仕組みの説明：

$$(x\lor y) \land (\lnot x \lor y) \land (x \lor \lnot y)$$ $$((x\lor y) \land (\lnot x \lor y))\land (x \lor \lnot y)$$ $$(x\lor y) \lor ((x\land y)\lor (y\land y))$$ $x$ $$(y) \lor (x\land y)\lor (y),$$ $y$$x$ $$((y) \lor (x\land y)\lor (y)) \lor ((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y)),$$ $$((x\land y)\lor (x\land y) \lor (x\land y))$$ $$(x\land y)$$

主張された証拠の正確性は、Luca Trevisanのブログで議論されています：https : //lucatrevisan.wordpress.com/2017/08/15/on-norbert-blums-claimed-proof-that-p-does-not-equal- np /

特に、「anon」は次の関連コメントを投稿しました。

「タルドスは、ラズボロフとアロンボッパナの引数が、多項式サイズの非単調回路で計算される関数に引き継がれることを観察しました（この関数は、グラフのLovaszシータ関数を近似する小さな変形です）。 Tardosの関数を適用します（これは、その証拠がRazborovの証拠に基づいているように思われるため、直観的に考えられます）が、Blumの現在の主張が正しくないことは明らかです。残念ながら、著者はこの点について議論しません。

「ミハイル」からの直接の質問で、アレクサンダー・ラズボロフはこれを確認します（ミハイルの投稿を参照）。 ベルクとウルフバーグによって与えられた推論はタルドスの機能に完全に当てはまります。彼の論文の第六定理の。-A.ラズボロフ

私の意見では、これは間違いなく、論文が正しいかどうかの問題を解決します（正しくない！）。また、証明方法自体に欠陥があると思われるため、証明の修復が難しいように見えることに注意することも重要です。

更新（2017/08/30）Norbert Blumは、arXivページに次のコメントを投稿しました。

証明が間違っています。私は間違いが何であるかを正確に詳しく説明します。これを行うには、時間が必要です。ホームページに説明を掲載します

Gustav Nordh は、定理5（29ページ）でコメントしました。具体的には、関数

$1$$x$$y$$1$$\beta$$x$$y$$\beta$$g_0$

$DNF'_{\beta}(g_0)$$\beta$

$DNF'_{\beta}(g_0)$$f$$DNF'_{\beta}(g_0)$$x$$f$$x=1$$f(x,y)=1$$R$

Reed-Solomonコードのリストデコードを使用して、Sivakumarがメンバーに匹敵する論文で行ったように、AndreevのPOLY関数がPにあることを示すことができますか？または、POLY関数はNP完全であることがわかっていますか？

彼はarXiv を更新して、自分の証明が間違っていると言っています。

証明が間違っています。私は間違いが何であるかを正確に詳しく説明します。これを行うには、時間が必要です。ホームページに説明を掲載します。

ここでのリプトンとリーガンのブログでは、証明構造に関する興味深いコメントを交えた高レベルのディスカッションが行われています。

彼らはまた、30年以上にわたって存在していたブール回路の複雑性の下限を証明したとして、ブルームの血統を指摘しています。専門家はすでに真剣に証拠を研究しているので、これはもちろん単なる「サイド情報」です。

また、こちら：https : //www.quora.com/Whats-the-status-of-Norbert-Blums-claim-that-operatorname-P-neq-operatorname-NP

引用Alon Amit：

（個人的な意見、8月14日、後半）：この論文は精査に耐えるとは思わない。P≠NPと同じくらい大規模に研究されてきた深遠な定理は、恐らく、深く広範囲に及ぶ新しい技術で解決されます。既知の既存の方法をわずかに強化することで解決することは不可能ではありませんが、非常に、非常に、非常にまれです。

次の理由で正しいとは考えられません。近似の方法は十分に一般的であるため、それらを使用して下限を証明できます。これは、Razborovによるものです。なぜそれが問題なのですか？それは、近似の方法が主な進歩ではないことを意味するため、何でも表現でき、肉はどこか別の場所になります。論文にはそのような肉はないようです。これは、著者が微妙な間違いを犯している可能性が高いことを示しています。これは、目に見えないが、本質的に答えを暗示する仮定です。複雑な理論家ではない人にとっては、これは非常に良い匂いテストです。1週間で月に旅行するために彼の地下でロケットを作るという誰かの主張と同じように本当です。

それで、その微妙な間違いはどこにありますか？Trevisanのブログには、その隠された仮定が定理6に含まれている可能性があることを示唆するLovettのコメントがあります。

$NP-c$$P$

$C$$f$$f$$C$$m$

ブール関数には真理値表が1つだけありますが、代数式は1つありません。どちらの問題にも、それを解決するブール関数は1つしかありません。

一部の（すべての場合もある）関数は同型です（問題はありません）。

$NP=P$$m$$m$$f$$f$$f$