P = PHを超えてP = NPを増幅できますか？

で記述複雑さ、Immermanあり

系譜7.23。次の条件は同等です
。1. P = NP。
2.有限の順序付けられた構造、FO（LFP）= SO以上。

これは、P = NPを（おそらく）より複雑なクラスの同等のステートメントに「増幅」するものと考えることができます。SOは多項式時間階層PHをキャプチャし、FO（LFP）はPをキャプチャするため、P = PHの場合、これはP = NPと考えることができます。

（これの興味深い部分は、P = NPがP = PHを意味するというステートメントです。NPを含むすべてのクラスCCでP = CCがP = NPを意味することは簡単です。Immermanは単に「if P = NP then PH = NP」おそらく、P = NPをPHのオラクル定義とともに使用して、階層全体が崩壊することを帰納的に示すことができるからです）

私の質問は：

この方法でP = NPをさらに増幅できますか？

特に、P = NPがP = CC 'を意味する最大の既知のクラスCC'と、P = NPがCC = NPを暗示する最小のクラスCCとは何ですか？これにより、P = NPを同等の質問CC = CC 'に置き換えることができます。Pはかなり強力なクラスであるように見えます。これは、NPからNPを分離しようとする引数に、「ウィグルルーム」をほとんど提供しないように見えます。

もちろん、P = PHがこのアプローチの限界であることを示す議論にも興味があります。

編集：密接に関連する質問に注意してくださいP = NPがP = AP（つまりP = PSPACE）を意味しないのはなぜですか？P = PSPACEであるという証拠がない理由 KavehとPeter Shorによるそこでの答えは、修正される交替の数が重要であると主張しています。別の関連する質問は、PHにあることが知られていないが、候補の問題を求めるP = NPの場合はPになる決定問題です。これらのクラスは多少人工的ですが、この質問に対する回答を作成するためにそこの回答も使用できます（これを指摘してくれた伊藤剛のおかげです）。より一般的な設定では、exptimeとalternationのチューリングマシンの崩壊 多項式時間階層で起こるように、交代階層の任意のレベルでの局所的な崩壊が上方崩壊を引き起こすかどうかを尋ねます。

Russell Impagliazzoのコメントから：

P = N Pの場合、言語を形式化する方法として、Reganは複雑度クラスHを導入しました。言語Lは、であり、H場合に限り、Lはであり、P Oの すべてのOracleに対してOようP O = N P O。したがって、ステートメントP = N Pの場合、LはHにあります。 $\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{H}$$L$$\mathsf{P}^O$$O$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$$L$$\mathsf{H}$相対化します。 P H ⊆ H ⊆ A のL TのT iは、mは電子の（O （LG LG N ）、p個の入出力LのY）。戸田の定理、と戸田の定理における補題の一部からは、それはそれも事実である H ⊆ Pのm個の入出力のD Q Pすべてのためのq。基本的に、 P O = N P O を満たすオラクルは、新しい上限を与えます。$\mathsf{P}=\mathsf{NP} \implies L\in\mathsf{P}$$\mathsf{PH} \subseteq \mathsf{H} \subseteq \mathsf{AltTime}(O(\lg\lg n),\mathsf{poly})$$\mathsf{H} \subseteq \mathsf{P}^{\mathsf{mod}_q \mathsf{P}}$$q$$\mathsf{P}^O=\mathsf{NP}^O$。H = P Hに関係なく開いています。$\mathsf{H}$$\mathsf{H}=\mathsf{PH}$

そしてランスフォートノウのコメントから：

してみましょう任意の無制限関数です。 Hは、中に含まれていないL個のTのT iは、mがE（F （N ）、p個の入出力LのY）、あなたが証明できれば P = N Pは意味Pは = リットルのT T iは、mがE（F （N ）、p個のOをl y）その後$f(n)$$\mathsf{H}$$\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$\mathsf{P}=\mathsf{AltTime}(f(n),\mathsf{poly})$は Lとは異なります。$\mathsf{NP}$$\mathsf{L}$

定義についてはで定義6.3を参照してください$\mathsf{H}$

• Kenneth W. Regan、「複雑度クラスのインデックスセットとプレゼンテーション」、1999

私が書いたように、他の質問に私の答え ましょうのは、解くアルゴリズムを与えることにより、交替の数に引数は建設的かつ均一にする、我々はSATのための多項式時間アルゴリズムを持っている場合、私たちはなるだろうかを見ることを想定kは一定ではありません。$\Sigma^P_k$$k$

してみましょう 2つの入力とDTMことのxとyの。N P問題の検証者と考えてください。$M$$x$$y$$\mathsf{NP}$

ましょ TM変換アルゴリズムであるMの大きさの回路にS （→ N、T ）∈ P O LのY 演算Mのサイズの入力に→ NのためのT手順。$Cook(M, \vec{n}, t)$$M$$s(\vec{n},t) \in \mathsf{poly}$$M$$\vec{n}$$t$

仮定すると決定論的アルゴリズムが存在するA時間に回線SAT証明書拡張の問題を解決するのp ∈ P O のL yは。$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$$A$$p\in\mathsf{poly}$

これらの要素を使用して、定量化されたブール式を与え、再帰的に最も内側の量指定子を削除し、それを量指定子のない量指定子で置き換えるTQBFのアルゴリズムを定義します。ましょうで表される大きさIステップ番目、次に我々は、SをI + 1 =のS ∘ P （S I）。式がある場合はk個の数量を我々がで終わるQ （N ）= （S ∘ P ）K（N ）$s_i$$i$$s_{i+1} = s\circ p(s_i)$$k$$q(n) = (s \circ p)^k(n)$$n$ 入力として指定されたTQBF式のサイズです。

場合、その後一定であるQ （N ）∈ P O リットルY。回路値はP であるため、多項式時間アルゴリズムがあります。$k$$q(n) \in \mathsf{poly}$$\mathsf{P}$

場合その後、qは（N ）もう多項式時間ではありません、我々はしているアルゴリズムを取得N 2 O （kは）。例えば、k = lg lg nの場合 、準多項式時間アルゴリズムを取得します。以下のためのk = LG のn我々は自明でない何かを得ることはありません。$k \in \omega(1)$$q(n)$$n^{2^{O(k)}}$$k = \lg \lg n$$k = \lg n$

私は、私たちが本当にに興味があることは最大のクラスだと思うように T ⊢ P = N P → P = C Tは、すべて私たちの現在の結果を正式にする強力な十分な理論である（例えば、あなたがあることそれを取ることができるZ F C）ので、これらの結果の主なポイントは、P ≠ N Pを証明しやすくすることです。$C$

より弱い理論を採用した場合、結果はまだ興味深いかもしれませんが、実際には最大値の上限ではありません。Reganが相対化を使用してH を定義するとき、彼は本質的に相対論するものに引数を制限しています。我々はより大きなクラス得るかもしれない相対化しない結果使用している場合はH に等しくなるP場合P = N Pを。$C$$\mathsf{H}$$\mathsf{H}$$\mathsf{P}$$\mathsf{P}=\mathsf{NP}$

$\mathsf{BPP} = \mathsf{PP}$$\mathsf{IP} = \mathsf{PSpace}$

また、複雑なクラスを相対化する正しい方法は1つだけであるという考えもありますが、これは多くの誤解を引き起こします（拡張的な意味での相対化を複雑なクラスの機能操作として考えるなど、相対化は計算モデルの修正です） 、関数や言語のクラスではありません）。相対化を修正（インタラクティブ）計算フレームワークとして見る方が便利だと思います。このように、複雑なクラスを（その意図的な意味で）相対化する多くの便利な方法があります。相対化されたフレームワークから相対化されていない設定に関する情報を取得するには、非標準分析の転送原理に類似した何らかの転送原理が必要です。。クラス間の既知の関係を保持するクラスの相対化の特定の方法を選択しても、転送原理は得られません（これは、クラスの「正しい」相対化とは何かを決定するために文献で一般的に使用される主要な基準です）。