不均一性の不合理な力

常識的な観点から、非決定性を追加すると、その能力が大幅に拡大する、つまりがよりもはるかに大きい と考えるのは簡単です。結局、非決定性は指数並列性を可能にしますが、これは間違いなく非常に強力に見えます。 N P $\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$

一方、に不均一性を追加して取得する 場合、直観はあまり明確ではありません（発生する可能性のある非再帰言語を除外すると仮定します））。入力長が異なるだけで異なる多項式時間アルゴリズムを許可する（ただし、再帰領域を残さない）ことは、非決定性の指数並列処理よりも強力ではない拡張機能であると期待できます。P / p o l y P / p o l $\mathsf{P}$$\mathsf{P}/poly$$\mathsf{P}/poly$

興味深いことに、これらのクラスを非常に大きなクラスと比較すると、次の直観に反する状況が見られます。は適切に含まれていることがわかっていますが、これは驚くことではありません。（結局、は二重の指数関数的並列処理を許可します。）一方、現在のところ除外することはできません。N E X $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}$ N E X $\mathsf{NP}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{NEXP}\subseteq \mathsf{P}/poly$

したがって、この意味で、非一様性は、多項式時間に追加されると、非常に強力になり、非決定性よりも強力になる可能性があります。二重指数関数的並列処理をシミュレートすることさえできます！これは事実ではないと信じていますが、現時点でそれを否定できないという事実は、複雑性理論家がここで「強大な力」と戦っていることを示唆しています。

この「不合理な力」の不均一性の背後にあるものを、インテリジェントな素人にどのように説明しますか？

簡単な答えは、これは私が素人に説明しようとする複雑性理論についての最初のものではないということです！不均一性の概念、およびそれが非決定性とどのように異なるかを理解するためにも、多くの人が得ようとするよりも複雑度クラスの定義で雑草をさらに掘り下げる必要があります。

そうは言っても、P / polyを学部生に説明するときに役立つと思う視点の1つは、不均一性とは、入力の長さをますます大きくするにつれて、より良いアルゴリズムとより良いアルゴリズムの無限のシーケンスを持つことができるということです。実際には、たとえば、ナイーブ行列乗算アルゴリズムはサイズが100x100程度までの行列に最適であり、ある時点でStrassen乗算が改善され、最近のアルゴリズムは天文学的に大きな行列でのみ改善されることがわかっています実際には発生しません。それで、もしあなたがたまたま作業しているnの範囲に最適なアルゴリズムをゼロにする魔法の能力を持っているとしたらどうでしょう？

確かに、それは奇妙な能力であり、すべてが考慮されますが、おそらく多項式時間でNP完全問題を解く能力ほど有用ではありません。しかし、厳密に言えば、これは比類のない能力です。P= NPであっても自動的に得られる能力ではありません。実際、計算不可能な問題（たとえば、入力として0 ^nが与えられると、n ^番目のチューリングマシンが停止します）の不自然な例を構築することもでき、この能力によって解決できます。それが、不均一性の力です。

この奇妙な力を考慮する点を理解するには、おそらく回路の下限を証明するための探求について何か言う必要があります。そして、私たちの下限技術の多くの観点から、奇妙なように見える均一性であるという事実ほとんど必要のない追加の条件。

これは、計算の不均一モデルが予想よりも強力であるという主張を擁護するために最近聞いた「滑らかさ」の議論です。一方では、時間階層定理から、たとえば時間O （2 n）で計算できない関数が時間で計算できることがわかります。一方、ルパノフの定理により、n個の入力に対するブール関数は、サイズ（1 + o （1 ））2 n / nの回路で計算できます。$O(2^{2n})$$O(2^{n})$$n$$(1+o(1))2^n/n$。したがって、不均一性があまり力を与えないと主張する場合、つまりはD T I M E（f （n ）O （1 ））のように振る舞うべきであると主張する場合、この主張は突然停止するはずですf （n ）が2 O （n ）になったときに保持。しかし、この振る舞い--- 2つの複雑さの測度は、それらの突然の1つがすべて強力になるまで、手をつないで行きます--- arbitrary意的で、やや不自然に見えます。$\mathsf{SIZE}(f(n))$$\mathsf{DTIME}(f(n)^{O(1)})$$f(n)$$2^{O(n)}$

$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{P/poly}$

$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$$\mathbb{P}$$\mathbb{NP}$

$\mathbb{P/poly}$$\mathbb{NP}$

$\mathbb{NP}$

$\mathbb{NP}$$\mathbb{P/poly}$

良い理解を与えるための重要なポイントは、最初に教科を教えるときによくあることだと思いますが、アドバイスと「ヒント」（証明書）は異なるものであり、それらがどのように異なるかを明確にすることです。

私にとって、不均一性の力の最も明確な例は、適切にパディングされた停止問題のバージョンがすでにP / 1にあるということです。この場合、アドバイスビットを返すだけの簡単なTMでこの言語を決定するには、1ビットのアドバイスで十分です。

もちろん、指数関数的な量で未決定の言語をパディングすることは、P / polyで「道徳的に」ないことを意味します。しかし、これは、不均一性を許可する場合は注意する必要があることを示しています。

私は、ここでの本当の問題は不合理な証明の重い負担であり、不均一性の不合理な力ではないという印象を持っています。chazisopとAndrásSalamonの回答がすでに強調しているように、証明の負担が完全に免除されたため、非常に制限された不均一言語でも決定不能言語は計算可能になります。

$2^n$$n$$n$$n$$n$$2^n\exp(O(n))=\exp(n\log(2)+O(n))=\exp(O(n))$

$n$$\mathsf{NEXP}$

$\mathsf{P/poly'}\subseteq \mathsf{NP}$$n$$\mathsf{P/poly'}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}\subseteq\mathsf{P/poly'}$）はまだ当てはまりますが、この記述は実際のKarp-Liptonの定理ほど面白くありません。