不均一性の不合理な力


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常識的な観点から、非決定性を追加すると、その能力が大幅に拡大する、つまりがよりもはるかに大きい と考えるのは簡単です。結局、非決定性は指数並列性を可能にしますが、これは間違いなく非常に強力に見えます。 N P PPNPP

一方、に不均一性を追加して取得する 場合、直観はあまり明確ではありません(発生する可能性のある非再帰言語を除外すると仮定します))。入力長が異なるだけで異なる多項式時間アルゴリズムを許可する(ただし、再帰領域を残さない)ことは、非決定性の指数並列処理よりも強力ではない拡張機能であると期待できます。P / p o l y P / p o l yPP/polyP/poly

興味深いことに、これらのクラスを非常に大きなクラスと比較すると、次の直観に反する状況が見られます。は適切に含まれていることがわかっていますが、これは驚くことではありません。(結局、は二重の指数関数的並列処理を許可します。)一方、現在のところ除外することはできません。N E X PNEXPNEXP N E X PNPNEXPNEXPP/poly

したがって、この意味で、非一様性は、多項式時間に追加されると、非常に強力になり、非決定性よりも強力になる可能性があります。二重指数関数的並列処理をシミュレートすることさえできます!これは事実ではないと信じていますが、現時点でそれを否定できないという事実は、複雑性理論家がここで「強大な力」と戦っていることを示唆しています。

この「不合理な力」の不均一性の背後にあるものを、インテリジェントな素人にどのように説明しますか?


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不均一性の理解の難しさ(および一般的な回路の下限を証明すること)は、不均一性が強力であることを必ずしも意味しません(興味深い問題を解決するためにそれを使用できるという意味で)。
カヴェー

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または信じている人はいないと思います。これらの質問が未解決のままであるという事実は、回路の下限を証明するのが恥ずかしいことではないという声明です。N PP / P O LのYNEXPP/polyNPP/poly
トーマス14

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@Thomas:誰か他の人に代わって話をするとは思いませんが、少なくとも推測する非常に尊敬される研究者を少なくとも1人知っていると言います。EXPP/poly
ジョシュアグロチョフ14

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@Thomas:正確ではありませんが、私たちが不均一性を理解しているのはどれほど少ないかだと思います。たとえば、私たちが知っているすべてのことについて(そしてコルモゴロフが推測したように、cstheory.stackexchange.com / a / 22048/129を参照)Pには -size cktsがあります。別の例として、にはスパースでもBPPでもないことが知られている(あるとしても)自然な問題はほとんどないようです(cstheory.stackexchange.com/questions/1662/…)。しかし、cktsを考えると、はランダム化+テーブル検索よりもはるかに強力であると考えるでしょう。P / p o l y P / p o l yO(n)P/polyP/poly
ジョシュアグロチョウ14

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P / polyにないNEXPを証明できない場合に@thomasをエコーすることは、「不合理な不均一性の力」があることを意味します。
ランスフォートノー14

回答:


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簡単な答えは、これ私が素人に説明しようとする複雑性理論についての最初のものではないということです!不均一性の概念、およびそれが非決定性とどのように異なるかを理解するためにも、多くの人が得ようとするよりも複雑度クラスの定義で雑草をさらに掘り下げる必要があります。

そうは言っても、P / polyを学部生に説明するときに役立つと思う視点の1つは、不均一性とは入力の長さをますます大きくするにつれて、より良いアルゴリズムとより良いアルゴリズムの無限のシーケンスを持つことができるということです。実際には、たとえば、ナイーブ行列乗算アルゴリズムはサイズが100x100程度までの行列に最適であり、ある時点でStrassen乗算が改善され、最近のアルゴリズムは天文学的に大きな行列でのみ改善されることがわかっています実際には発生しません。それで、もしあなたがたまたま作業しているnの範囲に最適なアルゴリズムをゼロにする魔法の能力を持っているとしたらどうでしょう?

確かに、それは奇妙な能力であり、すべてが考慮されますが、おそらく多項式時間でNP完全問題を解く能力ほど有用ではありません。しかし、厳密に言えば、これは比類のない能力です。P= NPであっても自動的に得られる能力ではありません。実際、計算不可能な問題(たとえば、入力として0 nが与えられると、n 番目のチューリングマシンが停止します)の不自然な例を構築することもでき、この能力によって解決できます。それが、不均一性の力です。

この奇妙な力を考慮するを理解するには、おそらく回路の下限を証明するための探求について何か言う必要があります。そして、私たちの下限技術の多くの観点から、奇妙なように見える均一性であるという事実ほとんど必要のない追加の条件。


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「より良い、より良いアルゴリズムの無限のシーケンス」引数が本当に好きです。私は実際にそのような議論を探していました。それは大学生に大局を説明するのに役立ちます。ただし、B P Pに置き換えた場合、この引数はどのように適用されますか?B P Pについても、現在はN E X PB P Pを分離できないため、同じ元の質問を言い換えることができます。P/polyBPPBPPNEXPBPP
アンドラスファラゴ14

7
BPPの動機付けははるかに簡単です!それはランダム化の力をモデル化しようとしているだけです。ランダム化は(非均一性とは異なり)実際に常に使用されているものです。(ただし、私は言及するのを忘れていました:不均一性を動機付ける別の方法は暗号化によるものです。敵はすべての攻撃リソースを標準として選択されたキーの長さに最適化する贅沢があることを指摘できます。 「均一な攻撃者だけでなく、固定長の不均一な攻撃者に対して安全であると思われる暗号システムを用意した方がよいでしょう。)
スコットアーロンソン14

1
ほうがやる気が出やすいということに完全に同意します。しかし、これは明らかではありません:B P PにN E X Pの二重指数関数的並列性をシミュレートすることさえ不可能ではないようなパワーを与えるのはなぜですか?以来B P Pが唯一のフォームは異なりPをランダム経由して、ここにランダム性が無力であることを正当な理由のために推測される(すなわち、P = B P P)、このルックス私には奇妙な状況。ツールが証明に欠けているという明白な事実を超えて、状況の「哲学的理解」を探しています。BPPBPPNEXPBPPPP=BPPNEXPBPP
アンドラスファラゴ14

2
しかし、実際にツールが不足しているいうだけの場合はどうでしょうか?階層定理があります。これにより、同じリソースをより多く使用するとより多くのパワー()が得られることを証明できます。階層定理に還元できない場合、通常は行き詰まります。これは複雑な階層全体に現れる一般的な問題であり、B P Pに固有のものではありません。PEXPBPP
スコットアーロンソン

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これは、計算の不均一モデルが予想よりも強力であるという主張を擁護するために最近聞いた「滑らかさ」の議論です。一方では、時間階層定理から、たとえば時間O 2 nで計算できない関数が時間で計算できることがわかります。一方、ルパノフの定理により、n個の入力に対するブール関数は、サイズ1 + o 1 2 n / nの回路で計算できます。O(22n)O(2n)n(1+o(1))2n/n。したがって、不均一性があまり力を与えないと主張する場合、つまりD T I M Ef n O 1 )のように振る舞うべきであると主張する場合、この主張は突然停止するはずですf n 2 O n )になったときに保持。しかし、この振る舞い--- 2つの複雑さの測度は、それらの突然の1つがすべて強力になるまで、手をつないで行きます--- arbitrary意的で、やや不自然に見えます。SIZE(f(n))DTIME(f(n)O(1))f(n)2O(n)

NPP/poly


1
とても興味深い!これは、計算の非均一(回路)モデルの理解がまだ完全にはほど遠いことを示しています。
アンドラスファラゴ14

4
そのような崩壊が起こりそうかどうかについてコメントせずに:それは第2レベルでの計算能力の突然の停止ですか?
ニールドボードラップ14

@NieldeBeaudrap非常に興味深い点。もちろん、このすべて(私の答えの推測を含む)は数学よりも神学ですが、推測するのは楽しいです。
サショニコロフ2014

3
@Sasho:それは神学でも意見でもありません:それは数学の原型ですよね?それは、関連する可能性のあるアイデアの説明であり、直感のためにそれらを比較検討します。森で迷子になったときにやるべきことはあまりありませんが、たとえば、怪談を語るよりも生産的です。:-)
ニール・ド・ボードラップ14年

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P/polyNPPNP

P/polyNP

NP

NPP/poly

良い理解を与えるための重要なポイントは、最初に教科を教えるときによくあることだと思いますが、アドバイスと「ヒント」(証明書)は異なるものであり、それらがどのように異なるかを明確にすることです。


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私にとって、不均一性の力の最も明確な例は、適切にパディングされた停止問題のバージョンがすでにP / 1にあるということです。この場合、アドバイスビットを返すだけの簡単なTMでこの言語を決定するには、1ビットのアドバイスで十分です。

もちろん、指数関数的な量で未決定の言語をパディングすることは、P / polyで「道徳的に」ないことを意味します。しかし、これは、不均一性を許可する場合は注意する必要があることを示しています。


3

私は、ここでの本当の問題は不合理な証明の重い負担であり、不均一性の不合理な力ではないという印象を持っています。chazisopとAndrásSalamonの回答がすでに強調しているように、証明の負担が完全に免除されたため、非常に制限された不均一言語でも決定不能言語は計算可能になります。

2nnnnn2nexp(O(n))=exp(nlog(2)+O(n))=exp(O(n))

nNEXP

P/polyNPnP/polyPNPP/poly)はまだ当てはまりますが、この記述は実際のKarp-Liptonの定理ほど面白くありません。

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