ソリューションの一意性により見つけやすくなる例

37

複雑度クラスは、最大で1つの計算パスを受け入れる多項式時間非決定性チューリングマシンによって決定できる問題で構成されます。つまり、ソリューションは、この意味でユニークです。すべての可能性は非常に低いと考えられている -problemsがであるによってため、ヴァリアント-Vazirani定理これが崩壊暗示。 $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$

一方、問題は -completeであるとは知られていないため、独自のソリューション要件により、さらに簡単になっていることが示唆されます。 $\mathsf{UP}$ $\mathsf{NP}$

一意性の仮定がアルゴリズムの高速化につながる例を探しています。

たとえば、グラフに一意の最大クリークがあることがわかっている場合、グラフの問題を見て、グラフの最大クリークをより速く見つけることができますか（おそらく指数関数的な時間で）。一意の彩色性、一意のハミルトニアンパス、一意の最小支配セットなどはどうでしょうか。 $k$

一般的に、我々はユニークな解のバージョンを定義することができます任意の にそれらを縮小、-complete問題を。一意性の仮定を追加するとアルゴリズムが高速になることは、それらのいずれかで知られていますか？（それがまだ指数関数のままであることを許可します。） $\mathsf{NP}$ $\mathsf{UP}$

— アンドラス・ファラゴ
ソース

7

最初の文はUPの正しい定義を示していますが、UPへの残りの参照は、実際には代わりにPromiseUP（Valiant-Vaziraniを含む）でなければなりません。いずれにせよ、これは非常に興味深い質問です。2つの例：1）ファクタリングはUPであり、NP完全問題で知られているアルゴリズムよりも高速なアルゴリズムを備えています（ただし、ファクタリングはcoNPやcoUPでも行われているため、ここで高速アルゴリズムの一意性が根底にあることはそれほど明確ではありません）。）伝統的に定義されているように、数独はPromiseUPにありますが、約束された一意性を利用する数独解決のアプローチは知りません。

— ジョシュアグロチョウ14

9

ハミルトニアンパスの数のパリティは、時間

（arxiv.org/pdf/1301.7250.pdf）で見つけることができますが、決定問題の最もよく知られているアルゴリズムはほぼ

時間かかります。

{1.618}^{n}

$1.618^n$

2^{n}

$2^n$

— アレックスゴロフネフ14

8

量子コンピューティングの例を次に示します。n個のアイテムの検索問題を考えます。マークされたアイテムが1つだけあることがわかっている場合は、

クエリ。マークされたアイテムの数がわからない場合、正確な量子アルゴリズムには

クエリが必要です。

Θ (\sqrt{n})

$\Theta(\sqrt{n})$

n

$n$

— ロビンコタリ

22

3-SATはそのような問題の1つかもしれません。現在、Unique 3-SATの最適な上限は、一般的な3-SATよりも指数関数的に高速です。（指数の減少はごくわずかですが、高速化は指数関数的です。）ユニークなケースの記録保持者は、Timon Hertliによるこの論文です。

Hertliのアルゴリズムは、重要な上に構築PPSZアルゴリズムについてPaturi、スキー-パドラック、サックス、およびゼインの私はまだ最速であると信じて-SAT、 $k$ （も参照この百科事典の記事を）。元の分析は、一意のためのより良い範囲を示した一般よりも-SAT -SAT場合。しかし、その後、Hertliは別の論文で示しました $k \geq 5$ $k$ $k$ $k = 3, 4$ 一意性を仮定せずに、PPSZアルゴリズムの（わずかに調整された）同じ境界を取得できること。そのため、一意性が役立つ場合があり、一部のアルゴリズムの分析を確実に簡素化できますが、 -SAT の一意性の役割についての理解は依然として高まっています。 $k$

ユニークという証拠がある -SATではありませんあまりにも簡単に一般よりも -SATは。強力指数時間仮説（SETH）が全く存在しないアサートなるように -variable で解決可能である-SAT 各一定時間。これは、に示された紙 SETHが保持している場合、同じ文がユニークなために真である、ということカーラブロ、Impagliazzo、Kabanets、およびPaturiの -SAT。また、一般的な $k$ $k$ $\delta < 1$ $n$ $k$ $O^*(2^{\delta n})$ $k \geq 3$ $k$ $k$ -SATは、いくつか存在する、すなわち、指数関数的な時間を必要とする一般的なように -SATは時間で解くことができない、同じユニーク3-SATのために真でなければなりません。最も一般的な声明については、論文を参照してください。 $k \geq 3, \epsilon > 0$ $k$ $O^*(2^{\epsilon n})$

（注：表記は、入力長の多項式因子を抑制します。） $O^*$

— アンディ・ドラッカー
ソース

1

「Unique 3-SATに当てはまる」

\mapsto

$\: \mapsto \:$ 「一意のk-SATに当てはまる」

$\;\;\;\;$

こんにちは、リッキー、書かれたものに問題はありません。Unique 3-SATに関する最後の主張は、論文の要約に記載されています。

— アンディドラッカー

ああ、私が言っていたことには異なる

使用する必要があることがわかります、

k

$k$

$\hspace{1.58 in}$ 混乱させるだけです。

$\;$

16

A. BjorklundとT. Husfeldtが最近解決した無向グラフの最短2頂点ディスジョイントパス問題（ICALP14）。しかし、決定論的解決策は、一意の解決策が存在する場合です。複数の解決策がある場合、彼らは問題がに属することを示した RPに。論文の著者が述べたように、一般的なシナリオで問題がPにあるかどうかはわかりません。

— サイード
ソース

3

ありがとう、とても面白い。解決策が一意でない一般的なケースは、P.であることが知られていない今もRPであることが証明された自然（あるいは実用的な）グラフ問題の良い例ですが、

— アンドラーシュFarago

10

複雑さの理論とアルゴリズムの分析以外では、1つの解しか存在できないという仮定が、数独パズルの解を推定するために使用されるいくつかの標準ルールの基礎となります。これらのルールは一般に、パズルの一部が、パズルの残りの部分と相互作用しない2つ以上のソリューションを持つことができる方法を探すことを伴います。それは実際のソリューションでは起こりえないので、これを引き起こす恐れのあるパターンが見つかった場合、それを壊さなければならず、ソルバーは実際のソリューションがどのように見えるかについての制約を推測できます。一意性に基づいた推論ルールの例については、http：//www.brainbashers.com/sudokuuniquerectangles.aspを参照してください。

— デビッド・エップスタイン
ソース

9

$G$

一意性の仮定は、ハムの数のパリティを意味します。パスは、グラフがハミルトニアンかどうかを決定するのと同じです。

$O(1.619^n)$ $O^*(1.657^n)$ $O(n^22^n)$

— RB
ソース