大きな開かれた複雑さのギャップの問題

この質問は、既知の下限と上限の間に大きなオープンな複雑性のギャップがある問題に関するものですが、複雑性クラス自体のオープンな問題のためではありません。

具体的には、聞かせてのは、問題があり言うギャップクラス （とA ⊆ B場合は一意に定義されていないが、）Aは、私たちが証明することができたために最大クラスであることがある-hard、そしてBが上限知ら最小限であります、つまり、Bに問題を解決するアルゴリズムがあります。この手段は、私たちは、問題があることを見つける終わる場合C -completeとA ⊆ C ⊆ B見つけると対照的に、一般的に、それはしません影響の複雑さの理論をPのためのアルゴリズムN P -complete問題を。$A,B$$A\subseteq B$$A$$A$$B$$B$$C$$A\subseteq C\subseteq B$$P$$NP$

私はとの問題には興味がないおよびB = N Pそれはすでにの目的であるので、この質問。$A\subseteq P$$B=NP$

可能な限りギャップクラスの問題の例を探しています。スコープと正確な質問を制限するために、私は特にに問題に興味を持ってとB ⊇ E X P T I M Eのメンバーシップの両方を意味し、PおよびE X P T I M Eを -completeness現在の知識と整合しています、既知のクラスを崩壊させることなく（このリストのクラスを言う）。$A\subseteq P$$B\supseteq EXPTIME$$P$$EXPTIME$

結び目等価問題。

平面に2つのノットが描かれている場合、それらはトポロジ的に同じですか？この問題は、上にその時間複雑に知られている現在バインドされている最高の塔のようです決定可能であることが知られており、およびP.にそのことに任意の計算の複雑さの障害物があるとは思えません、高さのS 、C 、N、C = 10 10 6、nはノットダイアグラムの交差の数です。これは、1ノットを同等のノットにするために必要なReidemeisterの移動回数に関するCowardとLackenbyの境界から来ています。Lackenbyの最近の論文を参照$2$$c^n$$c = 10^{10^{6}}$$n$ いくつかのより最近の関連する結果と、バウンドの明示的な形式については、上記（16ページ）に示します。

最小回路サイズ問題（MCSP）のバージョンは次のとおりです。ブール関数のビットの真理値表が与えられた場合、最大2 n / 2のサイズの回路を持っていますか？$2^n$$2^{n/2}$

はないことが知られています。N Pに含まれています。一般にN P-ハードと考えられていますが、これはオープンです。A C 0 [ 2 ]-ハードであるとさえ知られていないと思います。確かに、Cody Murrayとの最近の研究（CCC'15に掲載予定）では、PARITYからMCSPへのNC0 の均一な減少はないことが示されています。$AC0$$NP$$NP$$AC0[2]$

無理代数のビット（2進数で指定）を計算する複雑さ（√など））は、この上限[ABD14]を持つことがわかっている問題 B i t S L Pの縮約を介して、 P P P P P P Pの最もよく知られている上限を持っています。一方、この問題がnビットのパリティを計算するよりも難しいかどうかさえわかりません。この問題がA C 0にある可能性があることはわかっています。ただし、有限オートマトンが無理代数のビットを計算できないことを知っていることに注意してください[AB07]$\sqrt{2}$$\mathsf{P^{{{PP}^{PP}}^{PP}}}$$\mathsf{BitSLP}$$n$$\mathsf{AC^0}$

精神的にPeter Shorの答えに似たもう1つの自然なトポロジカル問題は、R 3の2次元抽象単体複合体の埋め込み可能性です$\mathbb{R}^3$。一般に、抽象的次元単体複合$k$を埋め込むことができると効果的/効率的に決定できるのはいつかを尋ねるのは自然です。以下のために、K = 1とD = 2これはグラフの平面性の問題と線形時間アルゴリズムを有しています。以下のため、K = 2とD = 2 、K = 2、D $\mathbb{R}^d$$k=1$$d=2$$k=2$$d=2$もある線形時間アルゴリズム。の$k=2$ケースは、Matousek、Sedgwick、Tancer、およびWagnerによって決定可能であることが示された昨年まで開かれました。彼らは、アルゴリズムには原始的な再帰的時間制限があるが、指数関数の塔よりも大きいと言います。一方、彼らは問題をNPに置くことは可能かもしれないと推測しているが、それを超えることは挑戦的だろう。ただし、ポリタイムアルゴリズムが不可能であることを示す強力な証拠はないようです。$d=3$

後者の論文には、さらに読むための多くの参照があります。

マルチカウンターオートマトン（MCA）は、1つのステップ内でインクリメントおよびデクリメントできるカウンターを備えた有限オートマトンですが、数値として0以上の整数のみを取ります。ミンスキーのマシン（別名カウンターオートマトン）とは異なり、MCAはカウンターがゼロかどうかをテストできません。

MSCに関連する大きなギャップを持つアルゴリズムの問​​題の1つは、到達可能性の問題です。たとえば、オートマトンが、初期状態とすべてのカウンターがゼロの構成から、受け入れ状態とすべてのカウンターがゼロの構成に再び到達できるかどうか。

この問題は、EXPTIME（1976年にリチャードリプトンが示したように）にとって困難であり、決定可能（Ernst Mayr、1981）およびFω3で解決可能です（これを指摘してくれたSylvainに感謝します）。大きなギャップ。

$\mathsf{QMA}(2)$ (Quantum Merlin-Arthur with two unentangled provers): certainly $\mathsf{QMA}$-hard, but only known to be in $\mathsf{NEXP}$.

The computational problem associated to Noether's Normalization Lemma for explicit varieties ("explicit" in the sense of this paper [freely available full version]). Best known upper bound is $\mathsf{EXPSPACE}$ (note, SPACE, not TIME!) but it is conjectured to be in $\mathsf{P}$ (and indeed, its being in $\mathsf{P}$ is essentially equivalent to derandomizing PIT).

The Skolem problem (given a linear recurrence with integer base cases and integer coefficients, does it ever reach the value 0) is known to be NP-hard and not known to be decidable. As far as I know anything in between would be consistent with our current knowledge without any collapses of standard complexity classes.