結果どのようなもの

46

我々は知っている $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ とその $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ 、 $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ 。また、 $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ 後者は、対数空間の多対1削減の下で完全な問題を抱えているのに対し、前者はそうではないからです（空間階層定理のため）。間の関係を理解するために、 $\mathsf{polyL}$ と $\mathsf{P}$ 、それが第一の関係を理解するのを助けることができる $\mathsf{L}^2$ 及び $\mathsf{P}$ 。

結果どのようなもの $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$ ？

どのような強い程度 $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ のため $k>2$ 、またはより弱い $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ のための $\epsilon > 0$ ？

— アルゼンチン人
ソース

4

@OrMeir最近、この事実の説明をWikipediaのpolyLの記事に追加しました。

— argentpepper

13

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

12

きちんとした質問！私は間違いなく報奨金の価値があると思います。ところで、ここに簡単な観察があります場合、ます。したがって、CNF-SATのより効率的なアルゴリズムがあり、ETH（指数時間仮説）に反論します。

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$

— マイケルウェハ

3

@MichaelWeharのコメントに続いて、含意はより弱い仮説に拡張する標準パディング引数から続きます：がにある場合、線形空間で解決できる問題（充足可能性問題を含む）は、時間で解くことが。

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$

P

$P$

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$

— argentpepper

3

@SajinKoroth：私は...答えなければなりませんあなたのコメントを考えるだけでなく、マイケルWeharの（とargentpepperのフォローアップ）

— ジョシュアGrochow

26

以下は明らかな結果です。はを意味するため、。 $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

空間階層定理により、。もし次に。 $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— サジン・コロス
ソース

小さな脚注：場合、またはます。

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— マイケルウェハ

27

$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ は、指数時間仮説に反論します。

もし次いでによってパディング引数。つまり、充足可能性の問題はステップで決定でき、指数時間仮説に反論します。 $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

より一般的には、のための意味。 $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

（この回答は、@ MichaelWeharによるコメントから拡張されています。）

— アルゼンチン人
ソース

コメントを拡大していただきありがとうございます！それは有り難いです。:)

— マイケル・ウェハ

1

さらに、最後の仮説は、がDSPACE（） DTIME（）にあることも意味します。

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— マイケル・ウィアー

8

グループが同乗（乗算表として与えられる）はPにあります。リプトン、スナイダー、およびザルクシュタインはこの問題がにあることを示しましたが、Pにあるかどうかはまだ開いています。は -timeであり、グラフ同型に減少するため、グラフisoをPに入れる際の大きな障害となります。 $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

これが他の自然で重要な問題に当てはまるのではないかと思います。つまり、が、最もよく知られている時間の上限は準多項式です。 $\mathsf{L}^2$

— ジョシュア・グロチョウ
ソース

1

より具体的には、準群同型のより一般的な問題はにあり、これはサブクラスです。

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— argentpepper

1

また、グループランクの問題（乗算テーブルとして有限グループGと整数kが与えられた場合、Gには基数kの生成セットがありますか？）にもこのプロパティがあります。アルゴリズムは、サブセット上だけ検索あるG基数のKが、2つの重要な事実を使用する：（1）各有限群は、対数サイズ及び（2）サブグループのメンバーが入っているの発生設定したに等しく、。

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— argentpepper

1

項：もしいくつかのために、次いで及び。 $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

いくつかのに対してと仮定します。 $L^k \subseteq P$ $k > 2$

「コンテキストフリーおよびコンテキスト依存言語の認識のためのメモリ境界」から、であることがわかり。空間階層定理により、であることがわかり。 $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

したがって、を取得し。 $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

また、サヴィッチの定理により、であることがわかります。したがって、ます。 $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— マイケル・ウェハール
ソース