結果

TCSアマチュアとして、私は量子コンピューティングに関する人気のある非常に入門的な資料を読んでいます。これまでに学んだ情報のいくつかの基本的なビットは次のとおりです。

1. 量子コンピューターは、多項式時間でNP完全問題を解くことが知られていません。
2. 「量子魔法だけでは十分ではない」（Bennett et al。1997）：問題の構造を捨てて、可能な解の空間だけを考えれば、量子コンピューターでさえ$2^n$$\sqrt{2^n}$正しいものを見つけるためのステップ（Groverのアルゴリズムを使用）
3. NP完全問題の量子多項式時間アルゴリズムが見つかった場合、何らかの方法で問題構造を活用する必要があります（そうでない場合、箇条書き2は矛盾します）。

このサイトでこれまでに誰も質問していないように見える（基本的な）質問がいくつかあります（おそらく基本的な質問です）。仮定誰かがため有界誤り量子多項式時間アルゴリズム発見こうして確定（または他の任意のNP完全問題）、S A Tの中にB Q Pを、そして暗示N P ⊆ B Q P。$SAT$$SAT$$BQP$$NP \subseteq BQP$

ご質問

1. そのような発見の理論的な結果はどれでしょうか？複雑度クラスの全体像にどのような影響がありますか？どのクラスが他のどのクラスと同等になりますか？
2. そのような結果は、量子コンピューターが古典的なコンピューターよりも本質的に優れたパワーを持っていることを示唆しているように思われます。そのような結果が物理学に与える影響はどれでしょうか？それは物理学の未解決の問題に何らかの光を発しますか？同様の結果の後、物理学は変更されますか？私たちが知っている物理法則は影響を受けるでしょうか？
3. 問題構造を十分に一般的な方法で（つまり、特定のインスタンスに依存しないで）利用する可能性（またはそうでない）は、P = NPの問題の核心と思われます。さて、有界誤差多項式時間量子アルゴリズムが見つかり、それが問題の構造を利用しなければならない場合、その構造活用戦略は古典的なシナリオでも使用できませんか？そのような構造活用が量子コンピューターでは可能であるが、古典的なコンピューターでは不可能であるという証拠はありますか？$SAT$

I'm not going to try to answer the first question, as someone like Scott Aaronson, Peter Shor or John Watrous can no doubt give you a far more comprehensive answer on that front.

As regards question 2, it is important to note that quantum computers are in fact more powerful than classical computers in many instances:

1. There is a rather generic polynomial speed-up gained by quantum computers over classical computers in quite a number of problems. From a complexity point of view, this is perhaps somewhat less interesting than an exponential speed-up, but is something that we can actually prove.
2. Quantum communication complexity can often vary dramatically from classical communications complexity for the same problem. Again, this is something that can be proven (see for example the Mermin-GHZ game).
3. Quantum queries to oracles are very often far more powerful than classical queries to the same oracle (see for example the Deutsch-Josza algorithm).

With this is mind, it is already known that quantum computers are fundamentally more powerful than classical computers. I think I would be correct in saying that the majority of physicists who work on such things would already assume that it is not possible to find a classical algorithm to efficiently simulate every quantum system, and so while a result showing that NP was contained in BQP would certainly be surprising, it would not be particularly likely to provide a breakthrough in the understanding of any particular physical phenomenon. Rather it would provide somewhat stronger evidence that quantum physics is hard to simulate.

There is no fundamental physics that is dependent on the computational complexity of simulating it, so finding an efficient quantum algorithm for an NP-complete problem would not have fundamental consequences for the correctness of our current understanding of how the universe functions (though I am inclined to agree with Scott Aaronson's suggestion that it is interesting to see if you could have physical laws emerge from computational assumptions).

これは、量子システムの断熱進化に影響を与えると言って非常に魅力的です（そして、それを示唆する答えを1つまたは2つ得るかもしれません）。 、したがって、量子コンピューターで多項式時間でSATを解くことは原則的に可能であることを示しているが、それらの特定の進化については何も言わないだろう。

最後の質問については、問題の構造を利用して多項式量子アルゴリズムを生成する例が既にありますが、そのような古典的なアルゴリズム（たとえば、因数分解）にはつながりません。したがって、現在の理解に関する限り、多項式時間量子アルゴリズムを生成するために利用可能な構造の問題は、その構造が古典的な多項式時間アルゴリズムを生成するために利用可能であることを意味しません。

スコット・アーロンソンは、しばしば指摘の好きだった（そしておそらくまだ指摘が好きで、彼はそうするのに疲れてもらっていないと仮定した場合）という物理的なプロセスは、常にエネルギー地形のグローバル最小値を見つけることができません。特に、NPの完全な最適化問題のインスタンスを物理システムのエネルギー最小化問題として定式化する場合、理論的または経験的のいずれかで、そのような物理システムが「緩和」すると信じる理由はありません。問題の解決までの時間（つまり  、最小のエネルギー構成）。局所的な最小値まで緩和される可能性が高くなります。わずかに異なる構成ではより多くのエネルギーが必要ですが、実質的に異なる構成ではより少ないエネルギーが必要な場合があります。

だから、証明しながら、NP  ⊆  BQPは、最初のオーダーの勝利だろう-すべての複雑さの理論家のためだけでなく、量子計算の理論家のための-それは、計算の「物理的」モデルが発見されるのを待っているの全く新しい理論があることを示唆しています。どうして？さて、計算のモデルは物理学のモデル（非常に特殊なものではありますが）として解釈できます。つまり、どの計算リソースが物理的に合理的であるかです。量子計算の「スローガン」の1つはNature isn't classical, [darn] it^†です。したがって、古典的なコンピューターで量子力学をシミュレートできない限り、物理的に効率的に計算できるものは、ほぼ確実にPよりも強力です。それでも、NPよりも強力ではないという証拠がありますです。そのため、BQPよりも強力である必要があります。それがそうすることを起こった場合、同様NP  ⊆  BQP。

だから、証明NP  ⊆  BQPはトリレンマを我々に提示する：どちらか

1. 量子回路を証明する、古典コンピュータ上で効率的にシミュレートすることができNP  ⊆  BQP  ⊆  Pを、それによって、すべての理論家の想像や悪夢を上回ります。
2. 古典的なコンピューターでは量子回路をシミュレートすることはできませんが、NPの問題を解決するためにスケーラブルな量子コンピューターを構築して、量子コンピューティングに真に爆発的な関心をもたらし、実験物理学者が将来のキャリアセキュリティを確保できるようにします;
3. 検出されるのを待っている計算の別のモデルがあります。これは、電力のPとBQPの中間で、物理的に効率的に計算できるものを記述（または、より適切に近似）します。

＃1または＃2が学問の観点から見られるように、スマートマネーは＃3にあると思います。

^†  ファインマンに謝罪したが、彼は呪いを刻まなかったと思う。