2つのポリトープの等価性の確認

14

変数のベクトルを検討、および一連の線形で指定された制約。 $\vec{x}$ $A\vec{x}\leq b$

さらに、2つのポリトープを検討します

\begin{aligned} P_{1} & = {(f_{1} (\vec{x}), \dots, f_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \\ P_{2} & = {(g_{1} (\vec{x}), \dots, g_{m} (\vec{x})) ∣ A \vec{x} \leq b} \end{aligned}

$\begin{align*} P_1&=\{(f_1(\vec{x}), \cdots, f_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\}\\ P_2&=\{(g_1(\vec{x}), \cdots, g_m(\vec{x}))\mid A\vec{x}\leq b\} \end{align*}$

ここで、およびはアフィンマッピングです。つまり、彼らは形式です。（私たちは、ことに注意しておよび、彼らは、ポリトープの「アフィンマッピング」であるため、ポリトープある。） $f$ $g$ $\vec{c}\cdot \vec{x} +d$ $P_1$ $P_2$ $A\vec{x}\leq b$

問題は、とがセットとして等しいかどうかをどのように判断するかです。複雑さは何ですか？ $P_1$ $P_2$

この問題の原因はセンサーネットワークにありますが、それは素敵な（おそらく基本的な）ジオメトリの問題のようです。おそらくとすべての頂点を列挙することにより、exptimeでこれを解決できますが、より良いアプローチはありますか？ $P_1$ $P_2$

— まおまお
ソース

2

2つのポリトープが同等であることはどういう意味ですか？3つの解釈がすぐに思い浮かびます。セットとして等しい、アフィン的に同等、組み合わせ的に同等です。2つの既存の答えは、異なる解釈を前提としています。

— 伊藤剛

セットとして等しいことを意味します。

— maomao

質問を編集して、その説明を含めてください。コメントにそのまま残さないでください。質問は自己完結型である必要があります。人々はあなたが尋ねていることを理解するためにコメントを読む必要はありません。ありがとうございました。

— DW

12

次のアプローチをより良いものとみなすかどうかを確実に言うことはできませんが、複雑さの理論的な観点からは、より効率的なソリューションがあります。考え方は、加法と秩序を持つ有理数の一次理論であなたの質問を言い換えることです。場合にのみ、が含まれることになり $P_1$ $P_2$ 有効です。同じ方法でと等価性を導き出す方法は明らかです。今固定数量詞-交替プレフィックスを有し、従ってに決定可能である、多項式時間階層の第二レベル（ソンタグ、1985

\begin{aligned} Φ ：= \forall \vec{バツ} 。 \exists \vec{y} 。 （ A \cdot \vec{バツ} \leq b ⟹ （ A \cdot \vec{y} \leq b \land \underset{1 \leq 私 \leq m}{⋀} f_{私} （ \vec{バツ} ） = g_{私} （ \vec{y} ） ） ） \end{aligned}

$\begin{align*} \Phi := \forall \vec{x}.\exists \vec{y}.\left( A \cdot \vec{x} \le b \implies \left( A \cdot \vec{y} \le b \wedge \bigwedge_{1\le i\le m} f_i(\vec{x}) = g_i(\vec{y}) \right)\right) \end{align*}$

P_{1}

$P_1$

P_{2}

$P_2$

Φ

$\Phi$

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$ ）。私はまた、下界のマッチングを証明することが可能であることはかなり自信を持って、私は2つの多面体間のインクルージョンがあることを読んでどこか思い出す

-hardを。

Π_{2}^{P}

$\Pi_2^\text{P}$

実際にこのような問題を解決するためにツールサポートを探している場合、z3などの最新のSMTソルバーはこの理論を完全にサポートしています。

— クリストフ・ヘイズ
ソース

5

$Ax \le b$ $P_1$ $P_2$ $A$ $b$ $A$ $b$

— デニス・パンクラトフ
ソース

2

私はこの議論が機能するとは思わない-それは引用された定理によって与えられたシンプレックスの次元を無視する。（任意の減少が確認するために、それは多項式有界のニーズので、xは、入力の一部です）

— コリン・McQuillan氏の説明による

いい視点ね！私の主張はまだ通用するように思えますが、引用した論文の証明を裏付けなければなりません。対応するポリトープが同型である場合にのみ、2つのグラフが同型になるように、グラフから開始してポリトープを構築します。それらのポリトープは、頂点の多項式数を持ち、それらの頂点の記述は、多項式時間で計算できます。したがって、（A、b）を頂点の数である次元のシンプレックス、fを頂点記述から取得できるポリトープを与えるアフィン射影とすることができます。

— デニスパンクラトフ