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計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルを好む理由は何ですか？
バックグラウンド 実数の計算は自然数の計算よりも複雑です。実数は無限のオブジェクトであり、実数は数え切れないほど多くあるため、実数は有限アルファベット上の有限文字列で忠実に表現できないからです。 ラムダ計算、チューリングマシン、再帰関数などのさまざまな計算モデルが同等であることが判明している有限文字列上の古典的な計算可能性とは異なり（少なくとも文字列上の関数の計算可能性について）、さまざまな計算モデルが提案されています互換性のない実数。たとえば、古典的なチューリングマシンモデルに最も近いTTEモデル（[Wei00]も参照）では、実数は無限入力テープ（チューリングのオラクルのような）を使用して表され、比較を決定することはできません。与えられた2つの実数の間の等式関係（有限時間）。一方、RAMマシンモデルに類似したBBS / real-RAMモデルでは、任意の実数を格納できる変数があり、比較と等式はモデルのアトミック操作の1つです。このような理由から、多くの専門家は、BSS / real-RAMモデルは現実的ではなく（少なくとも現在のデジタルコンピューターでは実装できない）、TTEまたは効果的なドメイン理論モデルのようなTTEに相当する他のモデルを好むと言います。 Ko-Friedmanモデルなど 場合は、私が正しく理解し、で使用されている計算のデフォルトのモデル計算幾何学は、あるBSS（別名リアルタイムRAM、参照[BCSS98]）モデル。 一方で、計算幾何学（LEDAなど）のアルゴリズムの実装では、代数的数値のみを扱っており、より高いタイプの無限オブジェクトまたは計算は関係していないようです（これは正しいですか？）。したがって、私は（おそらく素朴に）有限文字列上の古典的な計算モデルを使用してこれらの数値を処理し、通常の計算モデル（これはアルゴリズムの実装にも使用されます）を使用して正確さと複雑さを議論できるようですアルゴリズムの。 質問： 計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルの使用を好む理由は何ですか？（BSS / real-RAMモデルを使用する理由特定の計算幾何学） 前の段落で言及した（おそらく素朴な）アイデアの問題は何ですか？（計算の古典的なモデルを使用し、計算幾何学で代数的数への入力を制限する） 補遺： アルゴリズムの問​​題の複雑さもあります。BSS/ real-RAMモデルで次の問題を決定するのは非常に簡単です。 二組の所与の及びは正の整数の、 ある？SSSTTT∑s∈Ss√>∑t∈Tt√∑s∈Ss>∑t∈Tt\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t} それを解決するための効率的な整数RAMアルゴリズムは知られていませんが。例についてはJeffEに感謝します。 参照： Lenore Blum、Felipe Cucker、Michael Shub、Stephen Smale、「複雑さと実際の計算」、1998 Klaus Weihrauch、「計算可能な分析、序論」、2000
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平方根の困難な問題？
平方根の和問題は、2つの配列が与えられると、求められ及び正の整数の和か\ sum_i \ SQRT {a_iを}未満では、等しい、またはそれ以上和より\ sum_i \ SQRT {b_i} 。この問題の複雑さの状態は未解決です。詳細については、この投稿を参照してください。この問題は、計算幾何学、特にユークリッドの最短パスを含む問題で自然に発生し、これらの問題のアルゴリズムを実際のRAMから標準整数RAMに転送する際の大きな障害です。a1,a2,…,ana1,a2,…,ana_1, a_2, \dots, a_nb1,b2,…,bnb1,b2,…,bnb_1, b_2, \dots, b_n∑iai−−√∑iai\sum_i \sqrt{a_i}∑ibi−−√∑ibi\sum_i \sqrt{b_i} 平方根の問題からtoへの多項式時間の縮約がある場合、問題square平方根の困難（Σ√-hard？と省略）を呼び出します。次の問題が平方根の困難であることを証明するのは難しくありません。 4Dユークリッド幾何グラフの最短経路 インスタンス：頂点が\ mathbb {Z} ^ 4の点であり、エッジがユークリッド距離で重み付けされたグラフG =（V、E）。2つの頂点sおよびtG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)Z4Z4\mathbb{Z}^4sssttt 出力：から最短経路sssにtttにおけるGGG。 もちろん、この問題はダイクストラのアルゴリズムを使用して実RAM上で多項式時間で解くことができますが、そのアルゴリズムの各比較には平方根の問題を解く必要があります。削減では、任意の整数が4つの完全な二乗の合計として記述できるという事実を使用します。リダクションの出力は、実際には頂点のサイクルです。2n+22n+22n+2 平方根の和が難しい他の問題は何ですか？ 特に、実際のRAMに多項式時間解がある問題に興味があります。1つの可能性については、前の質問を参照してください 。 ロビンが示唆するように、退屈な答えは退屈です。平方根の合計（PSPACEやEXPTIMEなど）を含む複雑度クラスXの場合、すべてのX-hard問題は退屈な平方根の合計困難です。
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線形計画法のための強力な多項式アルゴリズムの存在の結果？
アルゴリズム設計の聖杯の1つは、線形計画法の強力な多項式アルゴリズム、つまり、ランタイムが変数と制約の数が多項式で制限され、パラメーターの表現のサイズに依存しないアルゴリズムを見つけることです（仮定単位コスト計算）。この質問を解決することは、線形計画法のためのより良いアルゴリズムの外で意味を持ちますか？たとえば、そのようなアルゴリズムの存在/非存在は、幾何学または複雑性理論に影響を及ぼしますか？ 編集：結果によって私が意味することを明確にする必要があるかもしれません。私は数学的な結果または条件付きの結果、現在真実であることが知られている意味を探しています。たとえば、「BSSモデルのLPの多項式アルゴリズムは、代数的複雑度クラスFOOとBARを分離/崩壊させます」、または「強力な多項式アルゴリズムが存在しない場合、ポリトープに関するそのような推測を解決します」、または「a LPとして配合することができる問題Xのための強力な多項式のアルゴリズムは、興味深い結果を持っているでしょう何とかし」。Hirsch予想は、シンプレックスが多項式である場合にのみ適用されることを除いて、良い例です。
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計算で実数はどのように指定されますか？
これは基本的な質問かもしれませんが、私はナッシュ平衡計算や線形縮退テストなどのテーマに関する論文を読んで理解しようとしており、入力として実数がどのように指定されているのかわかりませんでした。たとえば、LDTに特定の多項式の下限があると記載されている場合、実数は入力として扱われるときにどのように指定されますか？
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多角形の障害物がある平面での最短経路の計算の複雑さ
平面内の互いに素な複数の単純なポリゴンと、すべてのポリゴンの外側にある2つのポイントとtが与えられていると仮定します。ユークリッド最短経路問題は、ポリゴンの内部と交差しないsからtまでのユークリッド最短経路を計算することです。具体的には、sとtの座標がssstttssstttssstttの座標、およびすべてのポリゴン頂点の座標が整数であるます。 この問題は多項式時間で解決できますか？ もちろん、ほとんどの計算幾何学者はすぐに「はい」と言います：John HershbergerとSubhash Suriは、時間でユークリッドの最短経路を計算するアルゴリズムを説明しました。この時間制限は代数計算ツリーモデルで最適です。残念ながら、HershbergerとSuriのアルゴリズム（およびその前後のほぼすべての関連アルゴリズム）は、次の強力な意味での正確な実算を必要とするようです。O （n ログn ）O（nログ⁡n）O(n\log n) すべての内部頂点が障害物頂点である場合、有効な多角形パスを呼び出します。すべてのユークリッド最短経路が有効です。有効なパスの長さは、整数の平方根の合計です。したがって、2つの有効なパスの長さを比較するには、2つの平方根の合計を比較する必要があります。ます。これは、多項式時間で行う方法がわかりません。 さらに、平方根の総和問題の任意のインスタンスが、同等のユークリッド最短経路問題に還元できることは完全に妥当であると思われます。 だから：ユークリッド最短経路を計算する多項式時間アルゴリズムはありますか？それとも問題はNP困難ですか？または sum-of-square-roots-hard？または、他の何か？ いくつかのメモ： O （n ）で1つのポリゴンの内部（または外部）の最短経路を計算できますO （n ）O（n）O(n)少なくともポリゴンの三角形分割が指定されている場合、は、標準ファンネルアルゴリズムを使用して、奇妙な数値の問題なし時間。 実際には、浮動小数点演算は、浮動小数点精度までの最短パスを計算するのに十分です。正確な問題の複雑さにのみ興味があります。 ジョン・キャニーとジョン・レイフは、3空間での対応する問題がNP困難であることを証明しました（道徳的に最短パスが指数関数的に存在する可能性があるため）。 Joonsoo Choi、JürgenSellen、およびChee-Keng Yapは、多項式時間近似スキームについて説明しました。 Simon KahanとJack Snoeyinkは、単純なポリゴンの最小リンクパスの関連する問題について、同様の問題を検討しました。
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実数の計算：浮動小数点vs TTE vsドメイン理論vsなど
現在、ほとんどの一般的な言語での実数の計算は、まだ浮動小数点演算を介して行われています。一方、タイプ2有効性（TTE）やドメイン理論などの理論は、実数の正確な計算を長い間約束していました。明らかに、浮動小数点の精度の問題は関連性で低下していません。なぜこれらの理論がより主流にならないのか、そしてなぜそれらのより顕著な実装がないのか？ たとえば、浮動小数点エラーをあまり気にしないアプリケーションのドメインはありますか？複雑さに関する重大な懸念事項はありますか？
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計算可能な数が有理数か整数かをテストすることはできますか？
計算可能な数が有理数か整数かをアルゴリズムでテストすることはできますか？言い換えれば、それは道具計算数字は機能を提供するために、そのライブラリは可能でしょうisIntegerかisRational？ 私はそれが不可能であると推測し、これは何らかの形で2つの数値が等しいかどうかをテストすることができないという事実に関連していると推測していますが、それを証明する方法はわかりません。 編集：計算数はxxxの関数で与えられるfx(ϵ)fx(ϵ)f_x(\epsilon)の合理的な近似値を返すことができxxx高精度でϵϵ\epsilon：|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x−fx(ϵ)|≤ϵ|x - f_x(\epsilon)| \leq \epsilonいずれについても、ϵ>0ϵ>0\epsilon > 0。このような関数を考えると、それがあれば、テストすることが可能であるx∈Qx∈Qx \in \mathrm{Q}またはx∈Zx∈Zx \in \mathrm{Z}？
18 computability  computing-over-reals  lambda-calculus  graph-theory  co.combinatorics  cc.complexity-theory  reference-request  graph-theory  proofs  np-complete  cc.complexity-theory  machine-learning  boolean-functions  combinatory-logic  boolean-formulas  reference-request  approximation-algorithms  optimization  cc.complexity-theory  co.combinatorics  permutations  cc.complexity-theory  cc.complexity-theory  ai.artificial-intel  p-vs-np  relativization  co.combinatorics  permutations  ds.algorithms  algebra  automata-theory  dfa  lo.logic  temporal-logic  linear-temporal-logic  circuit-complexity  lower-bounds  permanent  arithmetic-circuits  determinant  dc.parallel-comp  asymptotics  ds.algorithms  graph-theory  planar-graphs  physics  max-flow  max-flow-min-cut  fl.formal-languages  automata-theory  finite-model-theory  dfa  language-design  soft-question  machine-learning  linear-algebra  db.databases  arithmetic-circuits  ds.algorithms  machine-learning  ds.data-structures  tree  soft-question  security  project-topic  approximation-algorithms  linear-programming  primal-dual  reference-request  graph-theory  graph-algorithms  cr.crypto-security  quantum-computing  gr.group-theory  graph-theory  time-complexity  lower-bounds  matrices  sorting  asymptotics  approximation-algorithms  linear-algebra  matrices  max-cut  graph-theory  graph-algorithms  time-complexity  circuit-complexity  regular-language  graph-algorithms  approximation-algorithms  set-cover  clique  graph-theory  graph-algorithms  approximation-algorithms  clustering  partition-problem  time-complexity  turing-machines  term-rewriting-systems  cc.complexity-theory  time-complexity  nondeterminism 
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離散フーリエ変換の計算の複雑さ？
n個の整数のベクトルの標準離散フーリエ変換を計算する複雑さ（標準整数RAM上）は？nnn CooleyとTukey に不適切に起因する[1] 高速フーリエ変換の古典的なアルゴリズムは、通常O （n log n ）時間で実行されると説明されています。ただし、このアルゴリズムで実行される算術演算のほとんどは、（ほとんどの場合n）非合理的な単位の複雑なn番目のルートから始まるため、一定時間での正確な評価は合理的ではありません。ナイーブO （n 2）-時間アルゴリズム（団結の複雑な根のヴァンダーモンド行列を掛ける）でも同じ問題が発生します。O （n ログn ）O(nlog⁡n)O(n \log n)nnnnnnO （n2）O(n2)O(n^2) DFTの出力を（有用な形式で）正確に表現する方法すら明確ではありません。つまり、DFTの計算が実際に可能かどうかは明らかではありません。 したがって、各出力値に必要な精度はビットのみであるとします。 nとbの関数としての離散フーリエ変換の計算の複雑さは何ですか？ （具体的には、nが2の累乗であると仮定してください。）bbbnnnbbbnnn222 または、文献の「FFT」のすべてのインスタンスは、実際には「高速数論変換」を意味しますか？[2] ガウス消去法とユークリッド最短経路の複雑さに関する私の関連する質問を参照してください。 [1]ガウス・ルンゲ・ケーニヒ・イェイツ・スタンプ・ダニエルソン・ランチョス・クーリー・テューキーのアルゴリズムと呼ばれるべきです。 [2]もしそうなら、ほとんどの教科書が複素数アルゴリズムのみを説明しているのはなぜですか？
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Realsの数学をComputable Realsにどの程度まで適用できますか？
適切なサニタイズにより、計算可能な実数のみを考慮する場合、実数の使用に関する最も知られている結果を実際に使用できると述べる一般的な定理はありますか？または、計算可能な実数のみを考慮する場合に有効な結果の適切な特性評価がありますか？副次的な問題は、計算可能な実数に関する結果を、すべての実数、または計算できないものを考慮することなく証明できるかどうかです。私は特に微積分と数学的分析を考えていますが、私の質問は決してそれに限定されません。 実際、チューリング階層に対応する計算可能な実数の階層があると思います（正しいですか？）。次に、より抽象的には、実際の抽象的な理論があります（用語がどうあるべきかはわかりません）。これについては、従来の実数だけでなく計算可能な実数にも適用される多くの結果を証明できます。計算可能な実数のチューリング階層の任意のレベル（存在する場合）。 それから私の質問は次のように述べることができます：伝統的実在について証明されたときに実在の抽象理論に適用される結果の特徴づけはありますか？そして、これらの結果は、従来の現実を考慮せずに、抽象理論で直接証明できますか。 また、これらの実数の理論がどのように、いつ分岐するかを理解することに興味があります。 PS私は私の質問でこれをどこに当てはめるかわかりません。実数に関する多くの数学がトポロジーで一般化されていることに気付きました。だから、私の質問への答え、またはその一部がそこにあるかもしれません。しかし、それだけではありません。
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TSPのBellman-Held-Karpアルゴリズムの時間の複雑さ、テイク2
最近の質問では、BellmanとHeld-Karpに独立した、TSPの現在の古典的な動的プログラミングアルゴリズムについて説明しました。このアルゴリズムは、O （2 n n 2）時間で実行されることが広く報告されています。しかし、私の学生の一人が最近指摘したように、この実行時間には不当に強力な計算モデルが必要になる場合があります。O(2nn2)O(2nn2)O(2^n n^2) アルゴリズムの簡単な説明を次に示します。入力は有向グラフで構成さG=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)とnnn頂点と非負の長さの関数ℓ:E→R+ℓ:E→R+\ell\colon E\to\mathbb{R}^+。任意頂点のsssとttt、および任意のサブセットバツXX除外すること頂点のsss及びttt、聞かせてL(s,X,t)L(s,X,t)L(s,X,t)からの最短ハミルトン経路の長さを示すsssにttt誘導された部分グラフでG[X∪{s,t}]G[X∪{s,t}]G[X\cup\{s,t\}]。Bellman-Held-Karpアルゴリズムは、次の再発に基づいています（または、経済学者や制御理論家が「ベルマンの方程式」と呼ぶのを好むように）。 L(s,X,t)={ℓ(s,t)minv∈X (L(s,X∖{v},v)+ℓ(v,t))if X=∅otherwiseL(s,X,t)={ℓ(s,t)if X=∅minv∈X (L(s,X∖{v},v)+ℓ(v,t))otherwise L(s,X,t) = \begin{cases} \ell(s,t) & \text{if $X = \varnothing_{\strut} $} \\ \min_{v\in X}~ \big(L(s, X\setminus\lbrace v\rbrace, v) + \ell(v,t)\big) & \text{otherwise} \end{cases} 頂点場合、最適な巡回セールスマンツアーの長さはです。最初のパラメーターsはすべての再帰呼び出しで定数であるため、\ Theta（2 ^ nn）個の異なるサブ問題があり、各サブ問題は最大でn個に依存します。したがって、動的プログラミングアルゴリズムはO（2 ^ nn ^ 2）時間で実行されます。sssL(s,V∖{s},s)L(s,V∖{s},s)L(s,V\setminus\{s\}, s)sssΘ(2nn)Θ(2nn)\Theta(2^n n)nnnO(2nn2)O(2nn2)O(2^n n^2) それともそれ！？ 標準整数RAMモデルでは、O(logn)O(log⁡n)O(\log n)ビットを使用して整数を一定時間操作できますが、少なくとも算術演算と論理演算では、大きい整数をワードサイズのチャンクに分割する必要があります。（そうでなければ、奇妙なことが起こります。）これは、より長いメモリアドレスへのアクセスにも当てはまりませんか？ アルゴリズムがスーパー多項式空間を使用する場合、メモリアクセスには一定の時間しか必要ないと仮定するのは合理的ですか？ …
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実数に対するNP完全性
私は最近、計算のBSSモデルを研究しています（たとえば、Complexity and Real Computation; Blum、Cucker、Shub、Smaleを参照）。 実数場合、多項式与えられた場合、ゼロの存在は -completeです。しかし、それらのが整数係数のみを持つ多項式である場合、つまりである場合、 -hard はまだ問題ですか？（明らかに）。RRRN P Rの Fをfは1、⋯f1,⋯,fm∈R[x1,⋯,xn]f1,⋯,fm∈R[x1,⋯,xn]f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]NPRNPRNP_Rffff1,⋯,fm∈Z[x1,⋯,xn]f1,⋯,fm∈Z[x1,⋯,xn]f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]NPRNPRNP_RNPRNPRNP_R はいと疑いますが、簡単な証拠はありますか？
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NPのユークリッドTSPおよび平方根の複雑さ
Ola Svenssonによるこの講義ノート：http : //theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdfで、ユークリッドTSPがNPにあるかどうかはわかりません。 理由は、平方根を効率的に計算する方法がわからないからです。 一方、Papadimitriouによるこの論文があります：http ://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 それはNP完全であると言っています。彼は論文でそれを証明していませんが、私は彼がNPのメンバーシップを些細なことであると考えていると思います。これは通常そのような問題の場合です。 私はこれに混乱しています。正直なところ、ユークリッドTSPがNPであるかどうかわからないという主張は、TSPツアーを証明書として取るのは簡単だと思っていたので、私はショックを受けました。しかし、問題は平方根が存在する可能性があることです。そのため、講義ノートでは基本的に、多項式時間では次の問題を解決できないと主張しています。 有理数を考えると、かどうかを判断√q1、…、qn、A ∈ Qq1、…、qn、A∈Qq_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}。q1−−√+ ⋯ + qn−−√≤ Aq1+⋯+qn≤A\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A 質問1：この問題について何を知っていますか？ これにより、次の単純化が求められますが、見つけることができませんでした。 質問2：場合、これは特別な場合に還元できますか？この特別な場合の多項式時間は解けるか？n = 1n=1n=1 しばらくそれについて考えて、私はこれに来ました。入力のビット数に関する多項式時間の複雑さを求めます。つまり、数値自体のサイズではありません。合計を多項式の10進数の数字に簡単に計算できます。悪いケースを取得するために、我々は、のインスタンス必要のためのK = 1 、2 、...毎の多項式のためのように、P、整数が存在Kように√q1 、k、… 、qn 、k、Ak∈ Qq1、k、…、qn、k、Ak∈Qq_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}K = 1 、2 、...k=1、2、…k=1,2,\ldotspppkkkおよびAkは、10進数展開の最初のp（input-size）桁で一致します。q1 、k−−−√+ ⋯ + qn 、k−−−√q1、k+⋯+qn、k\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}AkAkA_kp （入力サイズ）p（入力サイズ）p(\text{input-size}) 質問3：このような実数のインスタンスはありますか？ しかし、とは何ですか？これは有理数の表現方法に依存します！今、私はこれについて興味があります：入力サイズ入力サイズ\text{input-size} 質問4：有理数は2つの整数の比として与えられる場合であるが、アルゴリズム的に重要である（例えば、または（例えば、小数の膨張）2.5334 ¯ 567）？言い換えると、小数展開のサイズが比率表現のサイズまたは他の方法で多項式的に制限されないような有理数のファミリーがありますか？24 / 1324/1324/132.5334 567¯¯¯¯¯¯¯¯2.5334567¯2.5334\overline{567}
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実数の計算の複雑さの定義を判断する方法は自然ですか、それとも適切ですか？
知っているように、アルゴリズムの計算の複雑さの定義はほとんど議論の余地がありませんが、実数または実数上の計算モデルの計算の複雑さの定義はそのような場合ではありません。本「Computable Analysis」で、Blum and Smalesのモデルとモデルを知っています。そして一見、Computable Analysisのモデルは古典的なモデルと一致していますが、実数の計算の複雑さの定義は古典的なモデルに移植できません。 実数の計算の複雑さの定義を判断する方法は自然ですか、それとも適切ですか？ そして、実数の計算の複雑さの定義を古典的なモデルに移植する方法は？
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NPのBerman-Hartmanis同型写像？
実際のRAM / BSSモデルを使用して、クラスNPを作成します（BSSは、実数上での操作を行うコンピューターのBlum-Shub-Smaleモデルです）。NP完全な問題があります。それで問題は、クラスNPのベルマンハートマニス予想の類似物があるかどうかです。もちろん、ここで提起される質問はモデルに依存します。言い換えると、NPの定義はBSSモデルを使用するため、NPすべてを実行すると、完全な問題にはBSSモデルを使用した同じ構造（これは実数上のNPのBerman-Hartmanis予想を近似しています）？RR_{\mathbb{R}}RR_{\mathbb{R}}RR_{\mathbb{R}}RR_\mathbb{R}RR_{\mathbb{R}}
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PCFでの連続性関数の係数の定義不可能性に関するリファレンス？
誰かが、PCFの連続性関数の係数の定義不可能性についての参照を私に指摘できますか？\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\bool}{\mathsf{bool}} Andrej Bauerがいくつかの問題をより詳細に探求している非常に素晴らしいブログ投稿を書いていますが、この質問にいくつかのコンテキストを与えるために彼の投稿のほんの一部を要約します。ベイル空間BBBは、自然数列のセット、または同等に、自然数から自然数\ N \ to \ Nまでの関数のセットですN → NN→N\N \to \N。この質問では、計算可能なストリームにのみ注意を限定します。 さて、関数f：B → b o o lf：B→boolf : B \to \boolすべてのためならば連続しているX S ∈ Bバツs∈Bxs \in B、の値f(xs)f(xs)f(xs)の要素の唯一の有限数によって異なりxsxsxs、私たちは実際に上位を計算することができれば、それはcomputably連続です必要なxsの要素数に制限されますxsxsxs。いくつかの計算モデルでは、実際にプログラム\ mathsf {modulus}を書くことが可能 です：（B \ to \ bool）\ to B \ to \ Nm o d u l u s：（B → b o …
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