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線形計画法の解を見つけるためのシンプレックスアルゴリズムの上限は何ですか？ そのような場合の証拠を見つけるにはどうすればいいですか？最悪の場合は、各頂点にアクセスする必要がある場合、つまりように見えます。ただし、実際には、より標準的な問題の場合、シンプレックスアルゴリズムはこれよりも大幅に高速に実行されます。O(2n)O(2n)O(2^n) この方法を使用して解決される問題の平均的な複雑さをどのように推論できますか？ どんな情報や参考文献も大歓迎です！

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アルゴリズム設計の聖杯の1つは、線形計画法の強力な多項式アルゴリズム、つまり、ランタイムが変数と制約の数が多項式で制限され、パラメーターの表現のサイズに依存しないアルゴリズムを見つけることです（仮定単位コスト計算）。この質問を解決することは、線形計画法のためのより良いアルゴリズムの外で意味を持ちますか？たとえば、そのようなアルゴリズムの存在/非存在は、幾何学または複雑性理論に影響を及ぼしますか？ 編集：結果によって私が意味することを明確にする必要があるかもしれません。私は数学的な結果または条件付きの結果、現在真実であることが知られている意味を探しています。たとえば、「BSSモデルのLPの多項式アルゴリズムは、代数的複雑度クラスFOOとBARを分離/崩壊させます」、または「強力な多項式アルゴリズムが存在しない場合、ポリトープに関するそのような推測を解決します」、または「a LPとして配合することができる問題Xのための強力な多項式のアルゴリズムは、興味深い結果を持っているでしょう何とかし」。Hirsch予想は、シンプレックスが多項式である場合にのみ適用されることを除いて、良い例です。

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私が理解する限り、すべてのシンプレックスアルゴリズムの決定論的ピボットルールには、アルゴリズムが最適なアルゴリズムを見つけるために指数時間（または少なくとも多項式ではない）を必要とする特定の入力があります。通常（つまりほとんどの入力で）シンプレックスアルゴリズムはすぐに終了するため、これらのインスタンスを「病理学的」と呼びましょう。私の数学プログラミングコースから、特定のルールの病理学的インスタンスの標準的な例は高度に構造化されていたことを覚えています。私の一般的な質問は、これが特定の例のアーティファクトなのか、一般的な病理学的インスタンスの特徴なのかということです。 平滑化解析やそれを拡張する多項式時間アルゴリズムなどの結果は、入力の摂動に依存しています---病理学的例が非常に特殊であることを示唆しています。したがって、病理学的インスタンスが高度に構造化されているという直観は、それほど遠くまで来たようには見えません。 誰もこれに関して特定の洞察を持っていますか？または、既存の作品への参照はありますか？「構造化された」とは、できる限り包括的になることを意味しますが、「構造化された」をより適切に特定する方法についての提案も役立ちます。アドバイスや参考文献は大歓迎です！

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私はLPタスクにSMを実装することに興味がありますが、落とし穴の可能性について聞いたことがあります。私はまた、素朴な実装が何らかの種類のデータに対してループする可能性があると聞きました。 SMの実際の実装のニュアンスを説明する本/論文/情報源はありますか？ 前もって感謝します。

14 ds.algorithms  linear-programming  software  implementation  simplex 

私は、ウェブ上であちこちで見つけた講義ノートに基づいて、最小重みの二部完全マッチング問題に対するKuhn-Munkresアルゴリズムの実装を書きました。数千の頂点でさえ、本当にうまく機能します。そして、私はその背後にある理論が本当に美しいことに同意します。それなのに、どうしてそんな長さまで行かなければならなかったのか、まだ疑問に思っています。これらの講義ノートでは、なぜ主線形計画を単純にシンプレックス法に渡せないのかを説明していないことがわかりました。もちろん、予測可能なパフォーマンスの問題ではないかと疑っていますが、明確に述べられていないので、あまりよくわかりません。ポリトープのプライマルの極値は0-1であることが証明されているため、双対を定式化することなく、シンプレックス実装に直接供給することができるようです。それとも私は単純化していますか？

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私は、「特定のノードから他のすべてのノードへの有向最短経路のツリーを見つける問題への主なシンプレックスアルゴリズムの特殊化」を検討した、ドナルドゴールドファーブ、建秀豪、シェンロアンカイによる効率的な最短経路シンプレックスアルゴリズムを読んでいます。 nノードのネットワークまたは負の長さの有向サイクルを見つける。この最短経路シンプレックスアルゴリズムの2つの効率的なバリアントが分析され、最大でピボットと時間。」（n − 1 ）（n − 2 ）/ 2（ん−1）（ん−2）/2(n − 1)(n − 2)/2O （n３）O（ん３）O(n^3) この記事の動機を見つけようとしていますが、Bellman-Fordアルゴリズムでは十分ではないのでしょうか。時間で動作し、上記のアルゴリズムが処理するグラフのタイプに適しています。O （n m ）O（んメートル）O(nm)

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