線形計画法のための強力な多項式アルゴリズムの存在の結果？

アルゴリズム設計の聖杯の1つは、線形計画法の強力な多項式アルゴリズム、つまり、ランタイムが変数と制約の数が多項式で制限され、パラメーターの表現のサイズに依存しないアルゴリズムを見つけることです（仮定単位コスト計算）。この質問を解決することは、線形計画法のためのより良いアルゴリズムの外で意味を持ちますか？たとえば、そのようなアルゴリズムの存在/非存在は、幾何学または複雑性理論に影響を及ぼしますか？

編集：結果によって私が意味することを明確にする必要があるかもしれません。私は数学的な結果または条件付きの結果、現在真実であることが知られている意味を探しています。たとえば、「BSSモデルのLPの多項式アルゴリズムは、代数的複雑度クラスFOOとBARを分離/崩壊させます」、または「強力な多項式アルゴリズムが存在しない場合、ポリトープに関するそのような推測を解決します」、または「a LPとして配合することができる問題Xのための強力な多項式のアルゴリズムは、興味深い結果を持っているでしょう何とかし」。Hirsch予想は、シンプレックスが多項式である場合にのみ適用されることを除いて、良い例です。

— イアン
ソース

また、この結果を示すために使用される証明手法は、長期的な影響という点で結果よりもさらに興味深いかもしれないことは言うまでもありません。

— スレシュヴェンカト

回答:

これは、パリティゲームと平均ペイオフゲームがPにあることを示します。SvenScheweを参照してください。パリティゲームとペイオフゲームから線形計画法まで。MFCS 2009。

— ラーフル・サヴァニ
ソース

優れた。これに1つ以上の+1を付けられるといいのですが。これは非常にクールな結果です。

— スレシュヴェンカト

誰かがLPの強力な多項式アルゴリズムがこれをどのように暗示しているかを詳しく説明できますか？Scheweは、指数関数的に大きな数のLPの多項式サイズのインスタンスを作成します。いいよ次に、強力な多項式時間アルゴリズムを実行します。しかし、このアルゴリズムが行う算術演算をシミュレートする必要はありませんか？このシミュレーションは、超多項式時間を費やすことなくどのように行われますか？（数値は二重指数関数であることを思い出してください。中国の剰余トリックを行うことができると思いますが、多項式時間でこの方法で数値の比較を行うことはできますか？）

— スリムトン

私はまだこの論文を注意深く読んでいませんが、理解しているように、問題はリアルRAM / BSSモデルのPにあることを証明しているだけです（en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 ％80％93Smale_machine）、Pの通常バージョンではありません。任意のリングRで計算モデルを定義できます（ams.org/notices/200409/fea-blum.pdfを参照）。オーバー我々は、通常のチューリングマシンを取得し、実数上で我々はBSSモデルを取得します。各リングは、標準的なPに等しくなくてもよく、Pの独自のバージョンを持っている

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— イアン

私の以前のコメントの明確化：LPに強力な多項式アルゴリズムがある場合、それはBSSモデルの多項式であり、その場合、論文はBSSモデルのパリティとペイオフゲームもPであることを示唆しています。

— イアン

@Ian：言い換えれば、この答えは少し誤解を招くものでした（しかし、それはあなたがそれを有効な答えとして受け入れることを止めませんでした）。

— スリムトン

答え次第です。作成されたアルゴリズムの実行時間が場合、影響はほとんどありません。一方、LPを解決する新しい方法につながる場合は、多大な影響を与える可能性があります。たとえば、履歴を正しく覚えている場合（完全に間違っている可能性があります）、たとえば、楕円アルゴリズムは、その理論的重要性に加えて、シンプレックスよりも速い場合がある内点法の開発につながります（？）アルゴリズム。これにより、両方のアプローチが実行可能な範囲の上限に絞り込まれたため、実際には大幅な高速化につながりました。 $(d n)^{Ackerman(10000)}$

— サリエル・ハー・ペレド
ソース

しかし、これらの条件はほとんどすべての理論的結果に当てはまります。ランタイムに応じて役立つ場合もあれば、役に立たない場合もあり、結果の手法/アイデアが将来の進歩につながる可能性があります。

— イアン

あんまり。何らかの形式のヒルシュ予想が真実であり、その証明が建設的なものである場合、LPのソルバーがより確実に高速になります。要するに、質問が具体的である場合、その意味は明確であり、質問が広い場合、何ももたらされない可能性があります。別の言い方をすれば、LPの多項式時間アルゴリズムの唯一の確実な結果は、現在よりも問題をよりよく理解することです。

— サリエルハーペレ

ジオメトリの結果の1つを次に示します。シンプレックスアルゴリズムの任意のバリアント（ランダム化または決定論的）の強多項式境界は、ポリトープグラフの直径の多項式境界を意味します。これは、ヒルシュ予想の「多項式バージョン」が真実であることを意味します。

— シヴァ・キンタリ
ソース

しかし、LPの強力な多項式時間アルゴリズムがシンプレックス法を経由しなければならないことを信じる理由はありません。これまでで最もよく知られている方法（準指数関数）は、ランダムサンプリング+再帰戦略を使用します。

— Suresh Venkat

おっとっと。ポイントを逃しました。

— シヴァキンタリ

これは、シンプレックスが強力な多項式である場合にのみ有効です。もっと一般的な結果を探しています。多項式ヒルシュ予想が偽であるが別のアルゴリズムが強力な多項式である、または多項式ヒルシュ予想が真であるが多項式時間が短い経路を見つけることができないためシンプレックスが指数関数である可能性があります。

— イアン

@Suresh：実際、あなたが言及した準指数関数的ランダムサンプリング+再帰戦略（Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl/ Kalai、そうですか？）はデュアルシンプレックスアルゴリズムであると確信しています。（しかし、これはあなたの主張と矛盾しません。）

— ジェフ

あ、待って。Michael GoldwasserはSIGACTの記事でずっと前にうまく機能しませんでしたか？うーん今、私は行って掘る必要があります。

— スレシュヴェンカト