シンプレックスアルゴリズムの複雑さ

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線形計画法の解を見つけるためのシンプレックスアルゴリズムの上限は何ですか？

そのような場合の証拠を見つけるにはどうすればいいですか？最悪の場合は、各頂点にアクセスする必要がある場合、つまりように見えます。ただし、実際には、より標準的な問題の場合、シンプレックスアルゴリズムはこれよりも大幅に高速に実行されます。 $O(2^n)$

この方法を使用して解決される問題の平均的な複雑さをどのように推論できますか？

どんな情報や参考文献も大歓迎です！

— シャトル87
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mashcaが回答で述べたように、「シンプレックスアルゴリズム」は実際にはないことに注意してください。ピボットルールの選択に応じて、多くの異なるシンプレックスアルゴリズムがあります。

— 伊藤剛

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次元

の立方体には

個の頂点があるため、これは（たとえば、Klee-Minty）立方体のシンプレックスバリアントの上限です。しかし、多面体は次元であり

と

以上で、このような二重環状ポリトープとして、ファセット

、頂点ので、

一般に正方形制約行列のシンプレックス法の実行時間の上限を結合し、即時ではありません。

n

$n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

2 n

$2n$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— ラーフルサヴァニ

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シンプレックスアルゴリズムは、最悪の場合（Klee＆Minty 1972）に $2^n$ 個の頂点すべてを実際に訪問します。これは、決定論的なピボットルールに当てはまります。しかし、平滑化された分析を使用した画期的な論文では、Spielman and Teng（2001）は、アルゴリズムへの入力がわずかにランダムに摂動されると、シンプレックスアルゴリズムの予想実行時間が入力に対して多項式であることを証明しました-これは基本的にシンプレックス法が効率的に解決する「近くの」問題があり、解決したいすべての現実世界の線形プログラムをほぼ網羅しています。その後、Kelner and Spielman（2006）が紹介されました truleyが任意の入力に対して機能する多項式時間ランダム化シンプレックスアルゴリズム。元のシンプレックスアルゴリズムにとっては悪いものもです。

— レフ・レイジン
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Levが言ったように、最悪の場合、アルゴリズムはが変数の数である $2^d$ 頂点すべてを訪問します。ただし、シンプレックスアルゴリズムのパフォーマンスも、使用する特定のピボットルールに大きく依存する場合があります。私の知る限り、最悪の場合のサブ指数実行時間を持つ特定の決定論的なピボットルールが存在するかどうかは未解決の問題です。多くの候補者は、下限の結果によって除外されています。最近、Friedmann、Hansen、およびZwickは、いくつかの修正を後で提供するいくつかの自然なランダム化されたピボットルールの最初の非多項式下限も示しました。 $d$

ただし、Levが言及した平滑化された分析結果に追加します。SpielmanとTengsの論文で平滑化された分析を紹介した後、Vershynin は2006年に境界をさらに改善しました。から下の制約 $n$ 。 $n^{86}$

— マティアス
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そして、JeffEが別の質問（cstheory.stackexchange.com/questions/2149/…）で指摘したように、現在の最良の部分指数法は一種の双対シンプレックスです。

— スレシュヴェンカト

Vershynin論文へのリンクは無効です。

— kutschkem

8

シンプレックス法の最悪ケースと平均ケースの分析に関する洞察を得るには、「平滑化分析：シンプレックスアルゴリズムが通常多項式時間を要する理由」を読む必要があります。スピルマンとテンによって。

— クリスティーナ・ブーシェ
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3

シンプレックスが多項式時間で実行されない理由についての良いリファレンスは、シンプレックスが多項式時間アルゴリズムではないことを実証するPapadimitriou＆Steiglitz Combinatorial Optimization、Section 8.6です。

— ハイパーボア
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$D=200$

GLPK Simplex Optimizer, v4.65
200 rows, 200 columns, 20100 non-zeros
Preprocessing...
199 rows, 200 columns, 20099 non-zeros
Scaling...
 A: min|aij| =  1.000e+00  max|aij| =  1.607e+60  ratio =  1.607e+60
...
Constructing initial basis...
Size of triangular part is 199
*     0: obj =   0.000000000e+00 inf =   0.000e+00 (200)
*     1: obj = -6.223015278e+139 inf =   0.000e+00 (0)
OPTIMAL LP SOLUTION FOUND
Time used:   0.0 secs
Memory used: 3.4 Mb

シンプレックス法の難しい問題を構築する他の方法を提案できますか？

追加：ラテン方格、別名3d-permutation-matrixには多くの頂点があるように見える-何個？
_{理論と実践は、実際よりも理論的に近いです。}

— デニス
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-1

元のシンプレックスアルゴリズムが発散してもよいです。特定のインスタンスで循環します。したがって、一般的な制限はありません。他の回答では、シンプレックスアルゴリズムのさまざまな変更に対する回答を提供します。

— MdAyq7
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