NPのユークリッドTSPおよび平方根の複雑さ

Ola Svenssonによるこの講義ノート：http : //theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdfで、ユークリッドTSPがNPにあるかどうかはわかりません。

理由は、平方根を効率的に計算する方法がわからないからです。

一方、Papadimitriouによるこの論文があります：http ://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 それはNP完全であると言っています。彼は論文でそれを証明していませんが、私は彼がNPのメンバーシップを些細なことであると考えていると思います。これは通常そのような問題の場合です。

私はこれに混乱しています。正直なところ、ユークリッドTSPがNPであるかどうかわからないという主張は、TSPツアーを証明書として取るのは簡単だと思っていたので、私はショックを受けました。しかし、問題は平方根が存在する可能性があることです。そのため、講義ノートでは基本的に、多項式時間では次の問題を解決できないと主張しています。

有理数を考えると、かどうかを判断$q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$。$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

質問1：この問題について何を知っていますか？

これにより、次の単純化が求められますが、見つけることができませんでした。

質問2：場合、これは特別な場合に還元できますか？この特別な場合の多項式時間は解けるか？$n=1$

しばらくそれについて考えて、私はこれに来ました。入力のビット数に関する多項式時間の複雑さを求めます。つまり、数値自体のサイズではありません。合計を多項式の10進数の数字に簡単に計算できます。悪いケースを取得するために、我々は、のインスタンス必要のためのK = 1 、2 、...毎の多項式のためのように、P、整数が存在Kように$q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$およびAkは、10進数展開の最初のp（input-size）桁で一致します。$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

質問3：このような実数のインスタンスはありますか？

しかし、とは何ですか？これは有理数の表現方法に依存します！今、私はこれについて興味があります：$\text{input-size}$

質問4：有理数は2つの整数の比として与えられる場合であるが、アルゴリズム的に重要である（例えば、または（例えば、小数の膨張）2.5334 ¯ 567）？言い換えると、小数展開のサイズが比率表現のサイズまたは他の方法で多項式的に制限されないような有理数のファミリーがありますか？$24/13$$2.5334\overline{567}$

Q1。これは悪名高い未解決の問題です。[ABKM]により、カウント階層の第4レベルにあることが知られています。NPであることが知られていない。講義ノートで主張されているように、問題は平方根の計算にはありません。整数の平方根のnビットは、nの時間多項式と整数のビットサイズで計算できます。問題は、むしろ、整数の平方根の合計が実際に積分せずに整数にどれだけ近づくことができるかです。$n$$n$

Q2。の場合は、もちろん容易です。それは同じだQ ≤ A 2有理数を二乗すると、多項式時間であるので、多項式時間です。$n=1$$q \le A^2$

Q3。このページによると、知られている最良の方法は、整数$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$、すべてがからnの間にあることです。Σはkはiが= 1$1$$n$。これは、負の係数を許容する潜在的に困難な問題に対して計算する必要があるビット数のΩ（2klogn）の下限です。ビット数の最適な上限はkの指数です。$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4。10進数表現は非常に効率が悪いと思う。周期の長さは分母を法とする10の乗法次数であり、分母のビット数で指数関数的になります。

あなたが書いた：

一方、Papadimitriouによるこの論文があります：http ://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 それはNP完全であると言っています。彼は論文でそれを証明していませんが、私は彼がNPのメンバーシップを些細なことであると考えていると思います。これは通常そのような問題の場合です。

このようなナンセンスな主張を投稿するのではなく、単に論文を読んでみませんか？239ページで、Papadimitriouはこれらの問題について慎重に議論し、彼の証明のためにユークリッドメトリックの基礎となるバリアントを定義します。