Realsの数学をComputable Realsにどの程度まで適用できますか？

適切なサニタイズにより、計算可能な実数のみを考慮する場合、実数の使用に関する最も知られている結果を実際に使用できると述べる一般的な定理はありますか？または、計算可能な実数のみを考慮する場合に有効な結果の適切な特性評価がありますか？副次的な問題は、計算可能な実数に関する結果を、すべての実数、または計算できないものを考慮することなく証明できるかどうかです。私は特に微積分と数学的分析を考えていますが、私の質問は決してそれに限定されません。

実際、チューリング階層に対応する計算可能な実数の階層があると思います（正しいですか？）。次に、より抽象的には、実際の抽象的な理論があります（用語がどうあるべきかはわかりません）。これについては、従来の実数だけでなく計算可能な実数にも適用される多くの結果を証明できます。計算可能な実数のチューリング階層の任意のレベル（存在する場合）。

それから私の質問は次のように述べることができます：伝統的実在について証明されたときに実在の抽象理論に適用される結果の特徴づけはありますか？そして、これらの結果は、従来の現実を考慮せずに、抽象理論で直接証明できますか。

また、これらの実数の理論がどのように、いつ分岐するかを理解することに興味があります。

PS私は私の質問でこれをどこに当てはめるかわかりません。実数に関する多くの数学がトポロジーで一般化されていることに気付きました。だから、私の質問への答え、またはその一部がそこにあるかもしれません。しかし、それだけではありません。

実数は、いくつかの方法で特徴付けることができます。コーシー完全アルキメデスの順序フィールドで作業してみましょう。（私たちが見る、私たちはこれを言う方法を正確に少し注意する必要があります定義11.2.7とDefintion 11.2.10のHOTTブックを。）

次の定理は、すべてのトポス（高次の直観主義論理のモデル）で有効です。

定理：コーシー完全なアルキメデス順序フィールドがあり、実際、そのようなフィールドはいずれも正準同型です。

また、中に直観主義論理（と混同しないintuitionism）我々はすべてのトポスで、その後有効な実解析（シーケンスおよび制限、デリバティブ、積分、継続性、一様連続、など）の多くを行うことができます。セットのトポを取ると、通常の実際の分析が得られます。異なるトポを取ることで、異なる種類の実際の分析が得られます。計算可能な実数と計算可能な実数分析を正確に生成するトポがあります。

もちろんこれは、効果的なトポス実数はこれで、ある（漠然と言えば、この理由は、効果的なトポスはそれですべてが自動的に計算可能であるように構成されていることである）計算実数。あなたの質問への答えは

直観的実分析の定義、構造、定理は、効果的なトポで解釈すると、計算可能な実数に関する定義、構造、定理に自動的に変換されます。

たとえば、定理「すべての一様に連続したマップはその極大に達する」は直観的に有効です。効果的なトポで解釈すると、計算可能に一様に連続している計算可能な実数上の計算可能なマップに対応するバージョンが得られます。$f : [0,1] \to \mathbb{R}$

また、実際の分析とその計算可能なバージョンの「相違」について尋ねます。答えは、除外された中間の法則または選択の公理に依存する結果（可算選択は大丈夫ですが）は直観的ではないため、有効なトポスで検証することはできません。ただし、（一般的な意見とは反対に）ほとんどの分析は直感的に行うことができることに注意してください。

有効なトポスは、多くの実現可能性トポーズの 1つにすぎません。他の実現可能性で直観主義的分析を解釈すると、あなたが暗示するオラクルによる計算を含む、実数の計算可能性の代替モデルが得られます。「相対Kleene関数実現可能性topos」（それが何であれ）は、計算可能なマップだけでなく、計算可能なマップがすべての実数で動作する実数上のいわゆるタイプII計算可能性を提供します。

これは、「計算可能数学と構成的数学の間の接続としての実現可能性」というノートで一度説明し、その前に博士号で説明しようとしました。論文。