実数に対するNP完全性

私は最近、計算のBSSモデルを研究しています（たとえば、Complexity and Real Computation; Blum、Cucker、Shub、Smaleを参照）。

実数場合、多項式与えられた場合、ゼロの存在は -completeです。しかし、それらのが整数係数のみを持つ多項式である場合、つまりである場合、 -hard はまだ問題ですか？（明らかに）。$R$N P Rの Fをfは1、$f_1,\cdots, f_m\in R[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$f$$f_1,\cdots, f_m\in Z[x_1, \cdots, x_n]$$NP_R$$NP_R$

はいと疑いますが、簡単な証拠はありますか？

P R ≠ N P Rであると仮定すると、答えはノーだと思います（以下に証拠を示すと思いますが、ここには、私の主張に注意を払うほど十分に潜在的に巧妙な定義上の問題があります）。$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$

前提とする答えはノーであるという証拠$\mathsf{P}_\mathbb{R} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$：実際、次のより強力なステートメントが成り立つと信じています。

補題：任意のBSS決定問題のためにを超えるR、場合Lポリ時間BSS Rは、整数入力、次いで上の問題に帰着L ∈ P R。$L$$\mathbb{R}$$L$$_{\mathbb{R}}$$L \in \mathsf{P}_\mathbb{R}$

補題の証明：マシンMによって与えられる、Lから整数入力の問題への多項式時間BSS Rの還元があると仮定します。n個の実数パラメーターで構成される入力の場合、Mの計算を代数計算ツリーに展開します。葉の数は有限であり、各葉での結果は入力パラメーターの単一の有理関数です。実入力の有理関数が常に整数値を出力するためには、それは定数関数でなければならず、したがって入力に依存しない必要があります。ただし、各リーフでどの定数関数が使用されるかは、もちろんブランチによって異なります。ただし、Mは均一なマシンであるため、O$_{\mathbb{R}}$$L$$M$$n$$M$$M$出力ノード、したがって O （1 ）出力値のみ。したがって、 Mは多項式時間で Lを実際に決定するために簡単に変更できます。QED$O(1)$$O(1)$$M$$L$

ここで、を実際の多項式の実際の実行可能性とみなします。場合P R ≠ N P Rは、次いで、L ∉ P R、及び補題によりからの減少が存在しないL整数入力上の問題には、（特に、の実際の実現可能性に整数多項式）。$L$$\mathsf{P}_{\mathbb{R}} \neq \mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$L \notin \mathsf{P}_{\mathbb{R}}$$L$

約束の問題の問題？：あなたの質問の別の潜在的な問題は、整数多項式の実際の実現可能性はではなく、その約束バージョンのみであるかもしれないということです。ここでの問題は、入力（多項式f iの係数など）がxの大きさに依存する整数であることを検証するのに対し、インスタンスのセット（yesインスタンスだけでなくすべてのインスタンス）N P Rの決定問題は、決定可能であるべきであるP R、それが多項式時間がかかること後者意味パラメータの数$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$f_i$$x$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{P}_\mathbb{R}$、その大きさではありません。これは、整数が実数内で1次で定義できないという事実と密接に関係していると思います。（本質的にBSS最良Rは、入力場合-machine試験に行うことができ、xは整数の整数部を計算することであるX線のべき乗計算することによって2と行う「バイナリ検索」を、それがの整数部分計算いたらXを、それをそれがxに等しいかどうかをチェックするだけです。）整数方程式の実際の実行可能性の問題は、P r o m i s e N P Rにありますが、おそらくNにはありません。$_{\mathbb{R}}$$x$$x$$2$$x$$x$$\mathsf{PromiseNP}_{\mathbb{R}}$（または、少なくとも N P Rにあることを証明することは重要ではないようです）。$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$$\mathsf{NP}_{\mathbb{R}}$