実数の計算の複雑さの定義を判断する方法は自然ですか、それとも適切ですか？

知っているように、アルゴリズムの計算の複雑さの定義はほとんど議論の余地がありませんが、実数または実数上の計算モデルの計算の複雑さの定義はそのような場合ではありません。本「Computable Analysis」で、Blum and Smalesのモデルとモデルを知っています。そして一見、Computable Analysisのモデルは古典的なモデルと一致していますが、実数の計算の複雑さの定義は古典的なモデルに移植できません。

実数の計算の複雑さの定義を判断する方法は自然ですか、それとも適切ですか？

そして、実数の計算の複雑さの定義を古典的なモデルに移植する方法は？

ここで質問が何であるかは正確にはわかりませんが、誤解を取り除くために少し言うことができます。

まず、マップ複雑さについて話している場合、「適切な表現は何ですか？」と尋ねても意味がありません。代わりに、「すべての入力の適切な表現は何ですか？」と尋ねる必要があります。状況を離散数学の簡単な状況と比較してください。入力としてグラフを使用するアルゴリズムについて説明するとき、「ピーターセングラフを隣接リストまたはバイナリマトリックスとして表現すべきか？」代わりに、すべてのグラフで機能する統一された表現を自動的に考えます。$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$\sqrt{2}$$f$

警告の別の言葉。入力データの表現を変更することにより、我々はでき常に（非計算を含む）任意の問題は自明計算する：せるために計算の要素表すペアとして。次に、2番目の射影でを「計算」できます。これは、データを表すことの意味について明確な基準が必要であることを示しています。A （a 、f （a ））$f : A \to B$$A$$(a, f(a))$$f$

要素を表現するために必要なことについて何度か書いています。答えは何に依存した構造のあなたが撮影しようとしています。構造をキャプチャしない場合は、たとえば、空のリストですべての実数を表すことができます。表現の条件の合理的なリストは、次のようなものである必要があるということです。R $\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

1. 算術演算、、、は計算可能であり、絶対値。× − / | − $+$$\times$$-$$/$$|{-}|$
2. 実数のと取り、ような整数を出力するプログラムがあります、つまり、任意の適切な有理近似を計算することが可能です。のk ∈ Nの P 、Q | x − p / q | ≤ 2 - $x$$k \in \mathbb{N}$$p, q$$|x - p/q| \leq 2^{-k}$
3. 実数と（の表現）を取り、場合にのみ終了するプログラムがあります。つまり、厳密な順序が半決定可能です。y x < $x$$y$$x < y$
4. ような（の表現の）シーケンスが与えられた場合 制限の表現を計算できます。$(x_n)_n$$|x_{n+1} - x_n| \leq 2^{-n}$$\lim_n x_n$

これらの条件が正しいものである理由を説明する古い定理（参照については、このペーパーの紹介を参照）があります。また、これらの定理は、実数のそのような2つの表現が計算上同型であることを示しています。つまり、プログラム間で変換できます。これにより、誤ったアイデアを投げ出す正確性の基準が設定されます。

たとえば、「有理数は有限の情報で表すことができるので、それを有理数に使用してください。無理数は無限の情報で表現する必要があります」と言う人がいます。この種のことは、上記の4番目の条件に違反するため機能しません（無理数の制限を考慮してください。合理的に収束していることをどのように確認しますか？）。

上記の条件が排除するもう1つの例は、Blum-Shub-Smaleモデルです。このモデルでは、シーケンスの制限を計算できないためです。BSSモデルは、実数そのものではなく、実数（存在するパラメーターによって生成される）の離散的な順序付けられたサブフィールドで機能すると言う方が適切です。

実数の正しい表現の中には、実数が他のものよりも効率的であるものもありますが、実数は無限のオブジェクトであるため、これは議論がやや難しいトピックです。マティアス・シュレーダーは、複雑さの合理的な理論のためには、表現の位相的性質に注意を払う必要があると指摘しました。

最後に、どのように我々は、マップの複雑さを測定する必要があり、我々は良いの表現持っていると仮定すると？ので、関数、または情報の無限ストリーム、またはいくつかの、例えば、我々は、のいずれかを使用すべきで表される複雑さの高いタイプの概念を。どちらがおそらくあなたが使用している表現に依存します。$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$\mathbb{R}$$x \in \mathbb{R}$

BSSモデルは、算術演算をカウントする合理的な回路複雑度モデルでもあります。このモデルは実数に関するものではなく、他の何かに関するものであることに留意してください。

検討する可能性のあるもう1つのモデルは、Feasible RAMモデルです。これは、実計算用の修正されたリアルRAMモデル、実行可能RAM、または離散値演算と実数値演算の両方を使用する修正されたRAMモデルです。このモデルは実際の離散操作を可能にし、チューリングモデルはそれと交換可能です。Feasible RAMモデルには、不確実性で定義された精度があります。つまり、では、変数の不確実性1 /（k + 1）までしか実数の比較ができません。これにより、近似計算が可能になります。また、Vasco BrattkaaとPeter HertlingbがFeasible Real Random Access Machinesで述べているように、TuringのモデルとFeasible Real RAMのモデルは関連しています。時間でチューリングマシンで計算可能なすべての関数$<_{k}$$O(t)$時間 RAMで計算可能であり、表側の場合、関数を計算するチューリングマシンのオーバーヘッドがあります（実際のRAMが関数を計算する場合、TMは関数を計算します。位相論的考察が有用であるように、実際の計算を可能にするこの計算モデルのために開発された位相論的コンテキストがあるかどうかはわかりません。正確に。$O(t)$$O(t)$$O(t^{2}log(t)log(log(t)))$