計算で実数はどのように指定されますか？

これは基本的な質問かもしれませんが、私はナッシュ平衡計算や線形縮退テストなどのテーマに関する論文を読んで理解しようとしており、入力として実数がどのように指定されているのかわかりませんでした。たとえば、LDTに特定の多項式の下限があると記載されている場合、実数は入力として扱われるときにどのように指定されますか？

Kavehの受け入れられた答えに同意しません。線形計画法とナッシュ均衡では、浮動小数点が許容される場合があります。しかし、浮動小数点数と計算幾何学は非常にひどく混ざり合っています。丸め誤差はアルゴリズムの組み合わせの仮定を無効にし、頻繁にそれらをクラッシュさせます。より具体的には、多くの計算幾何学アルゴリズムは、特定の値が正、負、ゼロのいずれであるかをチェックするプリミティブテストに依存しています。その値がゼロに非常に近く、浮動小数点の丸めにより符号が間違っている場合、悪いことが起こる可能性があります。

代わりに、入力はしばしば整数座標を持つと想定され、中間結果はオーバーフローを回避するのに十分な精度の有理数または代数として正確に表現されることがよくあります。これらの数値の浮動小数点近似を使用して計算を高速化できますが、符号テストで正しい答えが得られるように、数値がゼロから十分に離れていることが保証される場合に限ります。

計算幾何学のほとんどの理論的アルゴリズムの論文では、入力が正確な実数であり、プリミティブが入力値の低次多項式の根の符号の正確なテストであると仮定することにより、この問題は回避されます。しかし、幾何学的アルゴリズムを実装する場合、これはすべて非常に重要になります。

また、Andrej Bauerの講演「The Modern Role in the Interval Domain in Modern Exact Real Arithmetic」で、理論と実践の両方で実数の計算を指定するためのさまざまなアプローチを調査しています。

これはあなたの質問に対する直接的な答えではなく、ラファエルへのより多くの回答です。最近、コインダクションを使用した実数計算を指定するかなりの作業がありました。このトピックに関する記事をいくつか紹介します。

• 正確な実数計算のための共誘導、Ulrich BergerおよびTie Hou：計算システムの理論第43巻、Number 3-4、394-409、DOI：10.1007 / s00224-007-9017-6

• 正確な実数演算における共帰納的形式推論、Milad Niqui、Logical Methods in Computer Science、4（3：6）：1–40、2008年。

• Dusko PavlovicとMartin Escardoによる共誘導形式の微積分、 1998年LICS。

実数計算の全範囲をカバーすることはほとんどありませんが、さまざまな問題を解決するための進歩が行われています。

実数の計算の計算の複雑さは、Blum、Cucker、Shub、およびSmaleによって考慮されています。本の部分的な説明は次のとおりです。

古典的な計算理論は、ゲーデル、チューリング、教会、およびクリーネの研究に起源を持ち、理論計算機科学の非常に成功したフレームワークでした。しかし、この本の論文は、ほとんどのアルゴリズムが実数アルゴリズムである現代の科学計算の不十分な基盤を提供するというものです。この本の目標は、古典理論の主要なテーマを統合し、数学、数値解析、科学計算の問題により直接的に適用できる計算の形式理論を開発することです。途中で、著者は次のような基本的な問題を検討します：マンデルブロ集合は決定可能ですか？単純な2次マップの場合、ジュリアは停止セットを設定しますか？ニュートンの本当の複雑さは何ですか？方法？多項式のステップ数でナップザック問題を決定するアルゴリズムはありますか？ヒルベルト・ヌルステルレンサッツは難治性ですか？4次多項式の実数ゼロを見つける問題は難解ですか？線形計画法は実数よりも扱いやすいですか？

ACM SIGACT Newsでこの本のレビューを見つけることができます。

コメントに基づいて編集/修正

著者が線形計画法、Nash平衡計算における実数入力について話すとき、ほとんどの論文（実数に関する計算/複雑性のトピックではない論文）で実際に実数を意味しません。それらは有理数であり、それらの操作（代数的数）によってそれらから生じる数です。したがって、それらは有限の文字列で表されると考えることができます。

一方、論文が分析の計算可能性と複雑さに関するものである場合、彼らは通常の計算モデルを使用しておらず、実数にわたる計算/複雑さのさまざまな互換性のないモデルがあります。

論文が実数での計算のモデルを指定していない場合、それが最初のケースであると仮定できます。つまり、それらは単なる有理数です。

計算幾何学は異なります。CGのほとんどの論文では、作成者が、アルゴリズムの正確さと複雑さについて議論されているモデルを指定していない場合、BSS（別名real-RAM）モデルと見なすことができます。

モデルは現実的ではないため、実装は単純ではありません。（これは、CCAの一部の人々がKo-Friedman / TTE / Domain理論モデルを好む理由の1つですが、これらのモデルの問題は、実際には浮動小数点計算ほど速くないことです。）の正確さと複雑さBSSモデルのアルゴリズムは、実装されたアルゴリズムの正確性に必ずしも移行しません。

Weihrauchの本には、異なるモデル間の比較が含まれています（セクション9.8）。わずか3ページで、読む価値があります。

（3番目の方法もあります。これはCGにより適している場合があります。このペーパーをご覧ください。

チー・ヤップ、「EGCによる実計算の理論」

ここで、EGCは正確な幾何計算です。

一般に、彼らはそうではありません。計算モデルでは、カウント可能な数の入力（および出力と関数）のみを扱うことができます。特に、入力は有限でなければなりませんが、すべての実数が有限の表現を持つわけではありません。

ある種のオラクルは、リクエストに応じて特定の実数の次の数字を生成する（ストリームのようなもの）と推測できます。それ以外の場合は、（任意に正確な）近似値を使用する必要があります。