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計算幾何学は、計算の観点からの幾何学的問題の研究です。問題の例としては、凸包などの幾何学的オブジェクトの計算、次元削減、メートル法空間での最短経路の問題、またはセット全体(つまり、コアセット)の一部の測定値を近似する点の小さなサブセットの検出があります。

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スーパーマリオギャラクシーの問題
マリオが惑星の表面を歩いているとします。既知の場所から一定の方向に所定の距離を歩き始めた場合、彼がどこで止まるかをどれくらい早く決定できますか? より正式に、我々は凸多面体を与えられていると仮定 3空間内で、開始点の表面に、方向ベクトル(いくつかの面を含む面内で)、及び距離。マリオのどのファセットが内部で停止するかをどれくらい早く決定できますか?(技術的なポイントとして、マリオが頂点に入るとすぐに爆発すると仮定します;幸いなことに、これはほとんど起こりません。)S P のV Pのℓ P PPPPsssPPPvvvpppℓℓ\ellPPPPPP または、必要に応じて、ポリトープ、ソースポイント、および方向ベクトルが事前に与えられているとします。前処理の後、与えられた距離質問にどれくらい早く答えることができますか?S のV ℓPPPsssvvvℓℓ\ell 特にに三角形のファセットしかない場合、マリオの足跡を簡単にトレースするのは簡単です。マリオがそのエッジの1つからファセットに入るたびに、時間で他の2つのエッジのどちらから抜けなければならないかを判断できます。このアルゴリズムの実行時間は、エッジ交差の数でのみ線形であるが、それはです無限の距離があるため、入力サイズの関数として直径よりも任意に大きくすることができた。もっと良くできますか?O (1 )ℓのPPPPO(1)O(1)O(1)ℓℓ\ellPPP バインドされたグローバルアッパーは、入力を表現するのに必要なビット数でありしかし、整数入力を主張することは、いくつかのかなり厄介な数値の問題を提起する-どのように計算します。(実際には、パスの長さは、実際には無制限ではありません。正確にどこ停止しますか?—では、実際の入力と正確な実際の演算に固執しましょう。) この問題の複雑さについて重要なことは何ですか? 更新: julkiewiczのコメントを踏まえると、(ポリトープの複雑さ)の点で純粋に制限された実RAMの実行時間は不可能であることは明らかです。マリオがから始まり方向に歩いている、両面単位正方形の特殊なケースを考えてみましょう。マリオは、整数のパリティに応じて、正方形の前面または背面で停止します。PSPACEとPを一致させない限り、実際のRAMで一定時間内にフロア関数を計算することはできません。しかし、を計算でき[ 0 、1 ] 2(0 、1 / 2 )(1 、0 )⌊ ℓ ⌋ ⌊ ℓ ⌋ O (ログℓ )N ログℓをnnn[0,1]2[0,1]2[0,1]^2(0,1/2)(0,1/2)(0,1/2)(1,0)(1,0)(1,0)⌊ℓ⌋⌊ℓ⌋\lfloor \ell \rfloor⌊ℓ⌋⌊ℓ⌋\lfloor \ell \rfloorO(logℓ)O(log⁡ℓ)O(\log \ell)単純なアルゴリズムに対する指数関数的な改善である指数関数検索による時間。 と時間多項式は常に達成可能ですか?nnnlogℓlog⁡ℓ\log \ell

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多項式ヒルシュ予想の組み合わせバージョン
検討の部分集合の互いに素なファミリーを{1,2、...、N}、。F 1、F 2、… F ttttF1、F2、… FtF1,F2,…Ft{\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t} 仮定 (*) すべての およびすべてのおよび、を含むあります。R ∈ F I T ∈ F K S ∈ F J R ∩ Ti < j < ki<j<ki \lt j \lt kR ∈ F私R∈FiR \in {\cal F}_iT∈ FkT∈FkT \in {\cal F}_kS∈ FjS∈FjS \in {\cal F}_jR ∩ ...

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計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルを好む理由は何ですか?
バックグラウンド 実数の計算は自然数の計算よりも複雑です。実数は無限のオブジェクトであり、実数は数え切れないほど多くあるため、実数は有限アルファベット上の有限文字列で忠実に表現できないからです。 ラムダ計算、チューリングマシン、再帰関数などのさまざまな計算モデルが同等であることが判明している有限文字列上の古典的な計算可能性とは異なり(少なくとも文字列上の関数の計算可能性について)、さまざまな計算モデルが提案されています互換性のない実数。たとえば、古典的なチューリングマシンモデルに最も近いTTEモデル([Wei00]も参照)では、実数は無限入力テープ(チューリングのオラクルのような)を使用して表され、比較を決定することはできません。与えられた2つの実数の間の等式関係(有限時間)。一方、RAMマシンモデルに類似したBBS / real-RAMモデルでは、任意の実数を格納できる変数があり、比較と等式はモデルのアトミック操作の1つです。このような理由から、多くの専門家は、BSS / real-RAMモデルは現実的ではなく(少なくとも現在のデジタルコンピューターでは実装できない)、TTEまたは効果的なドメイン理論モデルのようなTTEに相当する他のモデルを好むと言います。 Ko-Friedmanモデルなど 場合は、私が正しく理解し、で使用されている計算のデフォルトのモデル計算幾何学は、あるBSS(別名リアルタイムRAM、参照[BCSS98])モデル。 一方で、計算幾何学(LEDAなど)のアルゴリズムの実装では、代数的数値のみを扱っており、より高いタイプの無限オブジェクトまたは計算は関係していないようです(これは正しいですか?)。したがって、私は(おそらく素朴に)有限文字列上の古典的な計算モデルを使用してこれらの数値を処理し、通常の計算モデル(これはアルゴリズムの実装にも使用されます)を使用して正確さと複雑さを議論できるようですアルゴリズムの。 質問: 計算幾何学の研究者がBSS / real-RAMモデルの使用を好む理由は何ですか?(BSS / real-RAMモデルを使用する理由特定の計算幾何学) 前の段落で言及した(おそらく素朴な)アイデアの問題は何ですか?(計算の古典的なモデルを使用し、計算幾何学で代数的数への入力を制限する) 補遺: アルゴリズムの問​​題の複雑さもあります。BSS/ real-RAMモデルで次の問題を決定するのは非常に簡単です。 二組の所与の及びは正の整数の、 ある?SSSTTT∑s∈Ss√>∑t∈Tt√∑s∈Ss>∑t∈Tt\sum_{s\in S} \sqrt{s} > \sum_{t\in T}\sqrt{t} それを解決するための効率的な整数RAMアルゴリズムは知られていませんが。例についてはJeffEに感謝します。 参照: Lenore Blum、Felipe Cucker、Michael Shub、Stephen Smale、「複雑さと実際の計算」、1998 Klaus Weihrauch、「計算可能な分析、序論」、2000

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ではNP完全であるが、では扱いやすい幾何学的問題?
で考えるといくつかの幾何学的問題は簡単ですが、ではNP完全(私のお気に入りの問題の1つであるユニットディスクカバーを含む)。R D D ≥ 2R1R1R^1RdRdR^dd≥ 2d≥2d\geq2 誰もがとについてはポリタイムで解けるが、についてはNP完全な問題を知っていますか? R 2 R D、D ≥ 3R1R1R^1R2R2R^2Rd、d≥ 3Rd,d≥3R^d,d\geq3 より一般的には、についてはNP完全であるが、についてはポリタイムで解ける問題が存在します。ここで?R K - 1つの K ≥ 3RkRkR^kRk − 1Rk−1R^{k-1}K ≥ 3k≥3k\geq3

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有限VC次元でのヒッティングセットのパラメーター化された複雑さ
私は、d次元のヒッティングセット問題と呼ばれるもののパラメーター化された複雑さに興味があります。正の整数k、XにはRのすべての範囲にヒットするサイズkのサブセットが含まれていますか?問題のパラメーター化されたバージョンは、kによってパラメーター化されます。 dのどの値に対してd次元ヒッティングセット問題 FPTで? W [1]で? W [1] -hard? W [2] -hard? 私が知っていることは、次のように要約することができます: 1次元ヒッティングセットはPにあり、したがってFPTにあります。Sの次元が1である場合、サイズ2のヒットセットがあるか、Sの入射行列が完全に均衡していることを示すことは難しくありません。どちらの場合でも、多項式時間で最小ヒットセットを見つけることができます。 4次元ヒッティングセットはW [1] -hardです。Dom、Fellows、およびRosamond [PDF]は、軸平行線でR ^ 2の軸平行長方形を突き刺す問題のW [1]硬度を証明しました。これは、VC次元4の範囲空間でヒッティングセットとして定式化できます。 dに制限がない場合、W [2] -completeおよびNP-completeである標準的なHitting Set問題があります。 LangermanとMorin [citeseer link]は、制限された次元のSet CoverにFPTアルゴリズムを提供しますが、それらの有界次元モデルは有界VC次元で定義されたモデルと同じではありません。彼らのモデルには、例えば、ポイントで半空間をヒットする問題は含まれていないようですが、モデルのプロトタイプ問題は、超平面をポイントでヒットすることと同等です。

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完全に非幾何学的な何かを解決するために、幾何学からの洞察が有用だった例
3つの空間次元を持つ宇宙で進化したことの良い点の1つは、空間内のオブジェクトに関する問題解決スキルを開発したことです。したがって、たとえば、3次元の数字は3次元の点と考えることができ、したがって3次元の数字についての計算は3次元の点についての計算と考えることができます。これは、幾何学の手法を使用して、完全に非幾何学的な問題を解決できる場合があることを示唆しているようです。誰もそのような例を知っていますか? もちろん、「幾何学的」および「非幾何学的」という用語はここではわずかにあいまいです。すべてのポイントを座標で置き換える場合、幾何学的問題は実際には非幾何学的であると主張できます。しかし、直感的には、定義は明確です。SoCGに論文を送ることを検討する場合、幾何学的なものと呼ぶことにしましょう。

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L1へのL2の等尺性埋め込み
与えられたことが知られているnnnの-pointサブセットℓd2ℓ2d\ell_2^d(与えられるnnnの点RdRd{\mathbb R}^dユークリッド距離)が内等角それらを埋め込むことが可能である。ℓ(n2)1ℓ1(n2)\ell^{n\choose 2}_1 アイソメは(おそらく、ランダム化された)多項式時間で計算可能ですか? 有限精度の問題があるため、正確な質問は {\ mathbb R} ^ dおよび\ epsilon> 0のn点のセットが与えられると、マッピングf:X \ to {\ mathbb R} ^ {n \ choose 2}が計算可能(おそらくランダム性を使用)時間多項式におけるN対数で1 / \イプシロン毎にこのようなことは、X、XでY \我々はXXXnnnRdRd{\mathbb R}^dϵ>0ϵ>0\epsilon >0f:X→R(n2)f:X→R(n2)f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}nnn1/ϵ1/ϵ1/\epsilonx,y∈Xx,y∈Xx,y\in X ||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1||f(x)−f(y)||1≤||x−y||2≤(1+ϵ)⋅||f(x)−f(y)||1|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1 (注:O(\ epsilon ^ {-2} \ cdot ...

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予想される最小L2ノルムの凸体
凸状体検討KKK原点を中心と対称(すなわち、もしx∈Kx∈Kx\in K次いで−x∈K−x∈K-x\in K)。私は別の凸状体を見つけることを望むLLLように、K⊆LK⊆LK\subseteq L及び以下の尺度が最小化されます。 f(L)=E(xT⋅x−−−−−√)f(L)=E(xT⋅x)f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})、ここで、xxx、Lからランダムに一様に選択された点です メジャーの定数因子近似で問題ありません。 いくつかの注意事項KKK自体が答えであるという最初の直感的な推測は間違っています。たとえば、KKKが非常に高次元の細い円柱であると考えてください。次に、Lに原点に近いボリュームを持たせることで、f (L )&lt; f (K )になるようにを取得できます。LLLf(L)&lt;f(K)f(L)&lt;f(K)f(L)<f(K)LLL

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長方形を凸ポリゴンにパックするが回転はしない
(2次元)長方形の同一のコピーを重複することなく凸(2次元)多角形に詰める問題に興味があります。私の問題では、長方形を回転させることはできず、長方形は軸と平行になっていると仮定できます。長方形のサイズとポリゴンの頂点が与えられ、長方形の同一コピーをいくつポリゴンに詰め込めるかを尋ねられます。長方形の回転を許可されている場合、この問題はNP困難であると考えられます。ただし、できない場合は何がわかりますか?凸多角形が単なる三角形の場合はどうですか?問題が実際にNP困難である場合、既知の近似アルゴリズムはありますか? これまでの要約(11年3月21日)。Peter Shorは、この問題を凸多角形のパッキング単位正方形の1つと見なすことができ、パッキングする正方形/長方形の数に多項式の境界を課す場合、NPに問題があることを観察します。Sariel Har-Peledは、同じ多項式で区切られた場合のPTASがあることを指摘しています。ただし、一般に、パックされた正方形の数は、整数のペアの短いリストのみで構成される入力のサイズで指数関数的になります。次の質問は未解決のようです。 NPには完全な無制限バージョンがありますか?無制限バージョン用のPTASはありますか?PまたはNPCの多項式境界の場合ですか?そして、私の個人的なお気に入りは、ユニットの正方形を三角形に詰めることに自分を制限する場合、問題は簡単になりますか?

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量子コンピューターによる凸多面体からの近似サンプリング
量子コンピューターは、従来のコンピューターを使用してサンプリングする方法がわからない分布のサンプリングに非常に適しています。たとえば、fが多項式時間で計算できるブール関数(から)である場合、量子コンピューターを使用すると、 fのフーリエ展開 (従来のコンピューターでそれを行う方法はわかりません。)- 1 、1{ - 1 、1 }n{−1,1}n\{-1,1\}^n- 1 、1−1,1{-1,1} 量子コンピューターを使用して、d変数のn個の不等式のシステムによって記述された多面体のランダムポイントをサンプリングまたは近似サンプリングできますか? 不等式からポイントに移動することは、「変換」に似ているように見えます。さらに、分布を変更しても、たとえば多面体の超平面または他の何かによって記述されたガウス分布の積を考慮しても、量子アルゴリズムを見ることができればうれしいです。 いくつかのコメント:Dyer、Frieze、およびKannanは、多面体の体積をほぼサンプリングしてほぼ計算する有名な古典的な多項式時間アルゴリズムを発見しました。このアルゴリズムは、ランダムウォークと高速ミキシングに基づいています。それで、同じ目的のために異なる量子アルゴリズムを見つけたいです。(OK、私たちは量子アルゴリズムがこの文脈で古典的に行うことを知らないことにもつながることを願うことができます。しかし、始めるために、私たちが望むのは異なるアルゴリズムだけです、これは可能でなければなりません。) 第二に、均一な分布をほぼサンプリングすることさえ主張しません。多面体で大まかにサポートされている他の素敵な分布をおおよそサンプリングします。Santosh Vampala(別のコンテキストでは私も)によるサンプリングから最適化までの議論があります:f(x)サンプルを最適化して、f(x)が典型的なポイントyを見つける場合。制約{f(x)&gt; = f(y)}を追加して繰り返します。

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2種類のほぼ単純なポリゴンの検出
私は与えられた非シンプルなポリゴンがあるかどうかを決定する際の複雑さに興味があり、ほぼ二つの異なる形式的な感覚のいずれかで、シンプル:弱いシンプルまたは非自己交差を。これらの用語は広く知られていないため、いくつかの定義から始めましょう。 ポリゴン いくつかの有限のシーケンス結ぶ線分の閉サイクルで平面内の点の。ポイントはポリゴンの頂点と呼ばれ、セグメントはそのエッジと呼ばれます。頂点を順番にリストするだけで、任意のポリゴンを指定できます。p 0、p 1、p 2、… 、p n − 1 p iPPPp0,p1,p2,…,pn−1p0,p1,p2,…,pn−1p_0, p_1, p_2, \dots, p_{n-1}pipip_ipipi+1modnpipi+1modnp_i p_{i+1\bmod n} n個の頂点がすべて異なり、エッジが端点でのみ交差する場合、ポリゴンは単純です。同様に、ポリゴンが円と同相であり、すべてのエッジが正の長さである場合、ポリゴンは単純です。ただし、一般に、ポリゴンの頂点とエッジは任意に交差する場合があります。1nnn 交差点が両方の共通のサブパスである2つのポリゴンパスとを検討します(1つのポイントである可能性があります)。エンドポイントが共通のサブパスA \ cap Bの近傍の境界で交互になる場合、と交差と言います。ポリゴンは、2つの交差サブパスがある場合は自己交差し、それ 以外の場合は非自己交差します。2B A BAAABBBAAABBB A ∩ BA(0),B(0),A(1),B(1)A(0),B(0),A(1),B(1)A(0), B(0), A(1), B(1)A∩BA∩BA\cap B ポリゴンは、単純なポリゴンのシーケンスの制限である場合、または同等に、ポリゴンを単純にする頂点の任意の小さな摂動がある場合、弱く単純です。弱く単純なポリゴンはすべて非自己交差です。ただし、一部の非自己交差ポリゴンはそれほど単純ではありません。 たとえば、以下に示す6つの点a、b、p、q、x、yを考えa,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,ya,b,p,q,x,yます。 ポリゴンabpqyzabpqyzabpqyzは単純です。左図をご覧ください。 多角形papbpqyqzqpapbpqyqzqpapbpqyqzqは非常に単純です。中央の図は、近くの単純なポリゴンを示しています。ただし、このポリゴンはppp 3回アクセスするため、単純ではありません。 サブパスと交差するため、ポリゴンは自己交差します。直観については右図をご覧ください。b p q z y q p apapbpqzqyqpapbpqzqyqpapbpqzqyqbpqzbpqzbpqzyqpayqpayqpa 最後に、多角形(中央の多角形の周りに2回)は非自己交差ですが、それほど単純ではありません。直感的に、このポリゴンの回転数は、単純なポリゴンの回転数はなければなりません。(正式な証明には、いくつかのケース分析が必要です。一部は、回転角度が角度のポリゴンに対して実際に明確に定義されていないためです!)± 2 ± 1 ...

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多角形の障害物がある平面での最短経路の計算の複雑さ
平面内の互いに素な複数の単純なポリゴンと、すべてのポリゴンの外側にある2つのポイントとtが与えられていると仮定します。ユークリッド最短経路問題は、ポリゴンの内部と交差しないsからtまでのユークリッド最短経路を計算することです。具体的には、sとtの座標がssstttssstttssstttの座標、およびすべてのポリゴン頂点の座標が整数であるます。 この問題は多項式時間で解決できますか? もちろん、ほとんどの計算幾何学者はすぐに「はい」と言います:John HershbergerとSubhash Suriは、時間でユークリッドの最短経路を計算するアルゴリズムを説明しました。この時間制限は代数計算ツリーモデルで最適です。残念ながら、HershbergerとSuriのアルゴリズム(およびその前後のほぼすべての関連アルゴリズム)は、次の強力な意味での正確な実算を必要とするようです。O (n ログn )O(nログ⁡n)O(n\log n) すべての内部頂点が障害物頂点である場合、有効な多角形パスを呼び出します。すべてのユークリッド最短経路が有効です。有効なパスの長さは、整数の平方根の合計です。したがって、2つの有効なパスの長さを比較するには、2つの平方根の合計を比較する必要があります。ます。これは、多項式時間で行う方法がわかりません。 さらに、平方根の総和問題の任意のインスタンスが、同等のユークリッド最短経路問題に還元できることは完全に妥当であると思われます。 だから:ユークリッド最短経路を計算する多項式時間アルゴリズムはありますか?それとも問題はNP困難ですか?または sum-of-square-roots-hard?または、他の何か? いくつかのメモ: O (n )で1つのポリゴンの内部(または外部)の最短経路を計算できますO (n )O(n)O(n)少なくともポリゴンの三角形分割が指定されている場合、は、標準ファンネルアルゴリズムを使用して、奇妙な数値の問題なし時間。 実際には、浮動小数点演算は、浮動小数点精度までの最短パスを計算するのに十分です。正確な問題の複雑さにのみ興味があります。 ジョン・キャニーとジョン・レイフは、3空間での対応する問題がNP困難であることを証明しました(道徳的に最短パスが指数関数的に存在する可能性があるため)。 Joonsoo Choi、JürgenSellen、およびChee-Keng Yapは、多項式時間近似スキームについて説明しました。 Simon KahanとJack Snoeyinkは、単純なポリゴンの最小リンクパスの関連する問題について、同様の問題を検討しました。

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最大ばらばらのセット:欲張りアルゴリズムの実際の近似係数は何ですか?
候補の特定のコレクションから、最大の素集合 -重なり合わない幾何学的形状の最大セットを見つける問題を考えます。これはNP完全問題ですが、多くの場合、次の貪欲なアルゴリズムは定数係数近似を生成します。 すべての候補形状xについて、その交差しない交差数 = xと交差する交差しない形状の最大数を計算します。D IN(x )D私N(バツ)DIN(x) 最小のDIN()を持つ候補形状を選択します。それと交差するすべての形状を削除します。arg分バツD IN(x )arg⁡分バツD私N(バツ)\arg \min_{x} DIN(x) 候補がなくなるまで続けます。 たとえば、Wikipediaページの次の図を考えてください。 緑色のディスクは他の5つのディスクと交差していますが、DINは3です(3つの赤色のディスクは分離しています)。最上部と最下部の赤いディスクは他の2つのディスクと交差しますが、それら自体が交差するため、DINは1です。黄色のディスクのDINは2です。したがって、欲張りアルゴリズムは最上部または最下部の赤いディスクを選択します。 最小DINを定数で区切ることができる場合、欲張りアルゴリズムは多項式定数因子近似です。 例えば、すべての候補形状が単位円板である場合、Maratheら(1995) :最大で3のDINとディスクが常に存在することを示し、左端のディスク(X座標が最小とディスク)最大3他の互いに素なディスクで交差します。したがって、貪欲アルゴリズムは、最適なソリューションで(最大)3つのディスクごとに1つのディスクを取得するため、3つの近似値を生成します。 同様に、すべての候補形状が任意のサイズのディスクである場合、最小のディスクは最大5つの他の素のディスクと交差するため、貪欲アルゴリズムは5近似を生成します。つまり、最小DINは最大5です。 これまでのところは良いですが、これらの3と5の要因はきついですか?私はわかりません。 上の図を検討してください。一番左のディスク(緑)を選択すると、サイズ1の素なセットが見つかります。これは、サイズ3(赤)の最大の素なセットの実際の3近似ですが、貪欲なアルゴリズムは緑のディスクを選択しません。 DINが1である上部/下部の赤いディスク。この場合、欲張りアルゴリズムが最適なソリューションを見つけます。 一般的な反例を見つけることができませんでした。この例では、貪欲なアルゴリズムはユニットディスクを持つ素集合を見つけますが、最大の素集合にはます。実際、最小のDINが実際に3である一般的な反例を作成することさえできませんでした。私が思いつくのは、次の方法です。 2)です。しかし、ここでも、欲張りアルゴリズムは2近似ではなく最適な解を見つけます。n 3 nnnnnnn3 n3n3n 私の質問は: ユニットディスクのコレクションの実際の最大最小DIN は何ですか?任意のサイズのディスク? ユニットディスクのコレクションの欲張りアルゴリズムの実際の近似因子は何ですか?任意のサイズのディスクの場合?(この係数は最大でも最大の最小DINと同じ大きさですが、小さい場合もあります)。 更新:形状のkタプルごとに、 =和集合交差する素な形状の最大数を定義し。を、互いに素な形状のすべてのkタプルの最小DINとして定義します。 D I N (X 1、。。。、X K)X 1 ∪ 。。。∪ X Kバツ1、。。。、xkバツ1、。。。、バツkx_1,...,x_kD IN(x1、。。。、xk)D私N(バツ1、。。。、バツk)DIN(x_1,...,x_k)バツ1∪ 。。。∪ Xkバツ1∪。。。∪バツkx_1\cup...\cup x_kM I N ...

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ネットワーク/ソーシャルネットワーク分析の視覚化ツール?
Jung(http://jung.sourceforge.net/)を使用してページランクを視覚化していましたが、100ノードを超えてスケ​​ーリングするのは少し遅く、困難でした。他の人々がネットワーク/ソーシャルネットワークの分析と視覚化に使用する他のツールは何かと思っていました。

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最小内積クエリのデータ構造
検討Rを NRn\mathbb{R}^n標準内積を備えとベクトルが:。次の形式のクエリを許可するデータ構造を構築したい:given output。些細なO(nm)クエリ時間を超えることは可能ですか?たとえば、n = 2の場合、O(\ log ^ 2 m)をすぐに取得できます。⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \ranglemmv1,v2,…,vmv_1, v_2, \ldots, v_mx∈Rnx \in \mathbb{R}^n分I ⟨ X 、V 、I ⟩ O (N M )、N = 2 O (ログ2メートル)mini⟨x,vi⟩\min_i \langle x, v_i \rangleO(nm)O(nm)n=2n = 2O(log2m)O(\log^2 m) 私が思いつくことができる唯一のものは次のとおりです。ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題の直接の結果であり、すべてのε &gt; 0ε&gt;0\varepsilon > 0および\ mathbb {R} ^ n上の分布DD\mathcal{D}に対して、線形マッピングf \ colon \ mathbb ...

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