多項式ヒルシュ予想の組み合わせバージョン

検討の部分集合の互いに素なファミリーを{1,2、...、N}、。 $t$ ${\cal F}_1,{\cal F_2},\dots {\cal F_t}$

仮定

（*）

すべてのおよびすべてのおよび、を含むあります。 $i \lt j \lt k$ $R \in {\cal F}_i$ $T \in {\cal F}_k$ $S \in {\cal F}_j$ $R \cap T$

基本的な質問は次のとおりです。

大きさは？

知られていること

最もよく知られている上限は、準多項式です。 $t \le n^{\log n+1}$

最もよく知られている下限は（対数係数まで）2次です。

この抽象的な設定は、フリードリッヒアイゼンブランド、ニコライヘンレ、サーシャラズボロフ、トーマスロスボスによる論文『多面体の直径：抽象化の限界』から引用されています。二次の下限と上限の証明は、彼らの論文で見つけることができます。

動機

すべての上限は、n個のファセットを持つd次元ポリトープのグラフの直径に適用されます。これを確認するには、すべての頂点を含むファセットのセットに関連付けます。その後、頂点から出発 LET距離のポリトープの頂点に対応するセットであるから。 $v$ $S_v$ $w$ ${\cal F}_r$ $r+1$ $w$

もっと

この問題はpolymath3の主題です。しかし、未解決の問題であるにもかかわらず、こことMOで提示することは有用だと思いました。プロジェクトが特定のサブ問題につながる場合、私（または他の人）も同様にそれらを尋ねることができます。

（更新; 10月5日:)特に興味深い1つの特定の問題は、サイズdのセットに注意を制限することです。すべてのファミリのすべてのセットのサイズがdである場合、f（d、n）をtの最大値とします。サイズdのマルチセットを許可する場合、f *（d、n）をtの最大値とします。f *（3、n）を理解することは重要です。

問題： f *（3、n）は3nまたは4nのように動作しますか？

既知の下限と上限はそれぞれ3n-2と4n-1です。そして、3はシーケンス 'd'の始まりであり、4はシーケンスの始まりであるため、真実が3であるか4であるかは重要ではありません。2番目のスレッドを参照してください。 $2^{d-1}$

— ギル・カライ
ソース

ハーシュ予想、ウィキペディア

— vzn

この推測は、モンテカルロ法を使用した計算/経験/実験アプローチで非常にテスト可能で、さらには影響を受けやすいようです。誰かがそれを試しましたか？

— vzn

「現在の回答は最新ではなく、最近の変更を考慮すると修正が必要です」という新しい報奨金の理由については、何か特別なことを念頭に置いているようですが...？この2013年の論文では、サントスによる多面体と単体複合体の直径に関する最近の進歩により、ヒルシュの推測は「今では反証されている」と述べています。

— vzn 14年

親愛なるvzn、これは一種の冗談でした：答えがないということを考えると、現在の答えに関する記述は正しいです。

— ギルカライ14年

私と私の友人は、ブルートフォース法を試して、と小さな値に対していくつかの値を計算することにしました。これは、プルーニングを使用しないと完全に不可能であり、私たちが見つけたトリックが問題の残りの部分で洞察を与えることを願っています。これまでのところ、ブルートフォースメソッドの二重指数実行時間を大幅に短縮することはできていません（これまでのところ、約が最善の限界です）。背後にある関数を予測する $t$ $n$ $d$ $3^{2^n}$ $f$ 最初のいくつかの値から。また、以前のスレッドのすべてのコメントを詳細に検討したわけではないため、これの一部は既にわかっている可能性があります-基本的にコードを高速化するのが楽しく、機能するLaTeX環境があればどこかに結果を投稿したかったのですこれをArXiVに置きます。

コード（それが正確に生産コードではありません...）：http://pastebin.com/bSetW8JS。値：

f(d=2, n)=2n-1 for n <= 6

f(d=3, n=3) = 6
{} {0} {01} {012} {12} {2}

f(d=4, n=4) = 8
f(d=3, n=4) = 8
{} {0} {01} {1,02,03} {2,13} {123} {23} {3}
{} {0} {01} {2,013} {1,02,03} {023} {23} {3}

f(d=5, n=5) = 11
f(d=4, n=5) = 11
f(d=3, n=5) = 11
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {1,02} {2,13,04} {12,03,14} {3,124} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,3} {02,12,013,014} {13,023,04,124} {123,024} {23,24} {234} {34} {4}
{} {0} {01} {012,13} {02,12,013} {03,123,014,024} {023,124} {23,24} {234} {34} {4}

（*）が成り立つ場合、シーケンスは凸であると言います。私たちのアプローチは、基本的にが凸である場合には凸です。は凸であることに注意してくださいすべてのに対しては凸です。は、場合、と互換性があると言い ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $A \in {\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}, \{ A \}$ 我々は、シーケンスと互換性のあるセットを計算し、新しいとしての冪の要素をとることによって計算時間を節約-凸面であるむしろかどうかを決定するよりも、は直接凸です。 ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

次の高速化は、本質的に動的プログラミングです。次の2つの特性を持つ凸シーケンスの等価関係を見つけようとします。最初に、2つの凸シーケンスに対して場合、は互換性があります。場合、それはと互換性がある場合にのみ、。次に、およびは凸、次に $\sim$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ ${\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1} \sim {\cal F}'_1, ..., {\cal F}'_t, {\cal F}_{t+1}$ 。さらに、セットが等価クラスの要素と互換性があるかどうかを判断し、所与との同値クラスの代表。その後の動的プログラミングアルゴリズムは明らかです。等価クラスの数（上記の2つの操作にかかる時間とともに）は、明らかな動的プログラミングアルゴリズムの実行時間に制限を与えます。 ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t, {\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_{t+1}$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$

境界を得るために使用する等価性については、次のように「間隔」に基づく凸性の特性化を使用します。サブセット所与の、我々は言うである連続（必ずしも凸型）配列に対して場合いくつかの整数の。は、このシーケンスに対するの間隔であると言います。それは容易に見られること凸場合にのみ、すべての部分集合 $A$ $\{ 1, \dots, n \}$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ k \mid \exists B \in {\cal F}_k : A \subseteq B \} = \{ i, \dots, j \}$ $1 \leq i \leq j \leq n$ $(i, j)$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ シーケンスに関して連続している。

ここで、凸シーケンス与えられた場合、すべてのサブセットを、以下のように触れられない、許可されない、またはアクティブとしてマークします。要素活性である、のすべての要素禁止され、すべてのスーパーセットのセットのに対する間隔には withも許可されていません。セット ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_t$ $\{ 1, \dots, n \}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $B$ $A$ ${\cal F}_1, ..., {\cal F}_{t-1}$ $(i, j)$ $j < t - 1$ $A$ $\sim$ $B$ $C \in {\cal F}_t$ $D \in {\cal F}_{t+1}$ $B \cap C \subseteq D$ $3^{2^n}$

${\cal F}_{t+1}$ ${1, \dots, i}$ ${\cal F}_1 = \{ \{ 1 \} \}, {\cal F}_2 = \{ \{ 1, 2 \} \}$ ${\cal F}_{t-1}$ ${\cal F}_t$ ${\cal F}_3$ より大幅な節約になる可能性があります。

— アレックス・テン・ブリンク
ソース