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計算幾何学は、計算の観点からの幾何学的問題の研究です。問題の例としては、凸包などの幾何学的オブジェクトの計算、次元削減、メートル法空間での最短経路の問題、またはセット全体（つまり、コアセット）の一部の測定値を近似する点の小さなサブセットの検出があります。

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直方体の結合に含まれる最大の立方体を見つける
3D空間には多くの直方体があり、それぞれの開始点は（x、y、z）で、サイズは（Lx、Ly、Lz）です。立方体の結合に含まれるこの3D空間で最大の立方体をどのように見つけるのか疑問に思います。これに効率的なアルゴリズムはありますか？ たとえば、次の直方体がある場合： サイズ（10,10,10）で（0,0,0）から始まる直方体、 サイズ（12,13,15）の（10,0,0）の直方体、 サイズ（10,10,10）の（0,10,0）の直方体、 サイズ（10,10,10）の（0,0,10）の直方体、および サイズ（9,9,9）の（10,10,10）の直方体。 次に、これらの直方体の和集合に含まれる最大の立方体は、サイズ（19,19,19）の（0,0,0）で始まる立方体になります。 この質問のより一般的なバージョン： R dのボックスのコレクションが与えられた場合、ボックス の結合内に含まれる最大のハイパーキューブを見つけます。nnnRdRd\mathbb{R}^d
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クワッドエッジデータ構造（Delaunay / Voronoi）
計算幾何学者または代数論者に対する2つの質問： 私は計算幾何学に飛び込み始めたばかりで、私はそれを愛しています=） Delaunay三角形分割アルゴリズムを実装するために、「一般的な下位区分の操作とボロノイ図の計算のためのプリミティブ」と呼ばれるGuibasとStolfiの有名な記事を読みたいと思います。私はすべての理論的なものをスキップし、時間を節約するためにクワッドエッジデータ構造の説明を読むだけです。ただし、構造が広く使用されている場合、または単に美しいからといって、記事のすべての数学を理解することは価値があると思います。 数学は私にとっては少し濃いです。私はトポロジーについて完全に無知ではありませんが、それらのエッジ代数の記述には、私が持っていない抽象代数の知識が必要です。 私の2つの質問は次のとおりです。Delaunay/ Voronoiの計算以外に、クワッドエッジ構造の他のアプリケーションはありますか。非常に強力なツールのようです。 2番目の質問。抽象代数とは何ですか？抽象代数の紹介への参照を与えていただければ幸いです。それらのエッジ代数のセクションを理解するのに十分です。 ありがとうございました！
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円の有限集合を囲む最小の円を計算しない方法
に有限のディスクセットLLLがあり、に対して最小のディスクを計算するとします。これを行うための標準的な方法は、基底見つけるためMatoušek、SharirとWelzl [1]のアルゴリズムを使用することであるの、およびlet含む最小のディスク。ディスク以来、事実用いて代数的に計算することができる基礎で、各ディスク接線である。 D⋃L⊆DBLD=⟨B⟩⋃B⟨B⟩BB⟨B⟩R2R2\mathbb{R}^2DDD⋃L⊆D⋃L⊆D\bigcup L\subseteq DBBBLLLD=⟨B⟩D=⟨B⟩D=\langle B\rangle⋃B⋃B\bigcup B⟨B⟩⟨B⟩\langle B\rangleBBBBBB⟨B⟩⟨B⟩\langle B\rangle （ある基準の場合最小となるように A単位は有する最も三つの要素で;におけるボールのための一般的に基礎最大で要素があります。）L B ⟨ B ⟩ = ⟨ L ⟩ のR dは D + 1B⊆LB⊆LB\subseteq LLLLBBB⟨B⟩=⟨L⟩⟨B⟩=⟨L⟩\langle B\rangle=\langle L\rangleRdRd\mathbb{R}^dd+1d+1d+1 次のようなランダム化された再帰アルゴリズムです。（ただし、理解しやすい反復バージョンについては以下を参照してください。） 手順：入力：ディスク、有限セット、ここでは（）基底です。MSW(L,B)MSW(L,B)MSW(L, B) B B BLLLBBBBBBBBB 場合、返します。BL=∅L=∅L=\varnothingBBB それ以外の場合は、をランダムに選択します。X∈LX∈LX\in L LET B′←MSW(L−{X},B)B′←MSW(L−{X},B)B'\leftarrow MSW(L-\{X\}, B)。 もしX⊆⟨B′⟩X⊆⟨B′⟩X\subseteq\langle B'\rangleそして返すB′B′B'。 B " B " ∪ { X }MSW(L,B′′)MSW(L,B″)MSW(L, …
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ユークリッド距離による並べ替え
は平面上の点の集合です。ランダム点 X ∉ Sは、同一平面上に与えられます。タスクは、すべてのソートすることである Y ∈ Sとの間のユークリッド距離で X及び Y。SSSx∉Sx∉Sx \notin Sy∈Sy∈Sy \in Sxxxyyy 無脳のアプローチは、間の距離を計算することでとYのすべてのためのy ∈ S、その後ソートそれらがどの高速アルゴリズムを使用します。xxxyyyy∈Sy∈Sy \in S を保存または前処理して、ソート処理を高速化する方法はありますか？SSS
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2D長方形の色付け問題の定数因子近似アルゴリズムはありますか？
ここで考慮している問題は、よく知られている間隔カラーリング問題の拡張です。間隔の代わりに、辺が軸に平行な長方形を考えます。目的は、重複する2つの長方形に異なる色が割り当てられるように、最小数の色を使用して長方形に色を付けることです。 この問題はNP困難であることが知られています。Xin Han、Iwama Kazo、Rolf Klein、Andrezej Lingas（ボックスグラフ上の最大独立セットと最小頂点カラーリングの近似）は、O（log n）近似を与えました。より良い近似アルゴリズムはありますか？ 区間の色付けの問題は、左端に応じて区間を考慮することにより、最初に適合したアルゴリズムによって多項式時間で解かれることがわかっています。ただし、間隔が任意の順序で表示される場合、ファーストフィットオンラインアルゴリズムは8競争力があります。 長方形の色付け問題に対する最適アルゴリズムのパフォーマンスはどうですか？長方形が左（垂直）辺に従って表示されると、最初に適合するアルゴリズムはどうなりますか？ これに関する助けを事前に感謝します。
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限られた直径の最大点のセットを見つける
所与の点におけるRのD及び距離Lは、それらのどの2つのユークリッド距離を超えるように、これらの点の最大の部分集合を見つけるリットル。p1,…,pnp1,…,pnp_1,\ldots,p_nRdRd\mathbb{R}^{d}llllll この問題の複雑さは何ですか？ 2つのポイントの距離が最大である場合は常にエッジを持つポイント上のグラフでは、問題は最大クリークを見つけることに相当します。必ずしもすべてのグラフは（例は星であるこの方法で得ることができるので、逆は成り立たないかもしれK 1 、7のためにD = 2）。したがって、関連する質問は、このクラスのグラフについて何が知られているのかということです。lllK1,7K1,7K_{1,7}d=2d=2d=2
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順列関連付けられた2つの行列-複雑さ
次の問題の計算の複雑さは何ですか： 与えられた2つの複素行列とは、ような 置換行列があるかどうかをチェックしn × nn×nn\times nAAABBBPPPB = PA PT。B=PAPT。B = P A P^T. 役立つ場合は、とがエルミート（またはとが実対称である）であると想定できます。AAABBBAAABBB ノート： この問題は、2つのベクトルのセットがユニタリ回転によって関連付けられているかどうかを確認することに起因しています。回転によって関連付けられたベクトルのセット-MathOverflowを参照してください。そのコンテキストでは、とはそれらのグラミアン行列です。AAABBB この問題は、少なくともグラフ同型問題と同じくらい難しいですとを隣接行列として取ります。BAAABBB
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「鋭い」頂点がほとんどないグラフを描画しますか？
直線エッジを持つ平面上の平面グラフの平面埋め込みの場合、周囲の2つの連続するエッジ間の最大角度が180を超える場合、頂点を鋭い頂点として定義します。その頂点に入射するすべてのエッジが線の片側にあるような埋め込みの頂点。頂点は「シャープ」であり、そうでない場合はそうではありません。また、次数が3以上の頂点のみについて心配します。 鋭い頂点がほとんどない平面グラフを描きたい。誰もそのような図面を以前に勉強したことがありますか？ 特に、埋め込みの次数3の鋭い頂点の数があり、頂点の座標が多項式のビット数で書き込めるように、最大​​次数3の平面グラフを描画します。O （ログn ）O（ログ⁡n）O(\log n) Google Scholarに時間を費やした後、次のことがわかります。 私の頂点の鋭さの尺度は、角度研究と呼ばれる既に研究された概念に関連しています。ウィキペディアから： グラフの描画の角度分解能は、描画の共通の頂点で交わる2つのエッジによって形成される最も鋭い角度を指します。 したがって、角度分解能次数3の頂点を持つ平面描画は、私の目的に適しています。π/ 2π/2\pi/2 度の頂点の図に、その周りに角度分解能は、最大であることができる2 π / D。ddd2個のπ/ d2π/d2\pi/d これがきついかどうかの問題は過去に研究されてきましたが、漸近的な結果しか見つけることができません。例えば、MalitzおよびPapakostasを証明する最大次数を有する任意の平面グラフことの角度解像度で描画することができますα D。しかし、この結果は、d = 3の場合に適切な境界を与えません。dddαdαd\alpha^dd= 3d=3d=3
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リストに順番を維持
注文のメンテナンスの問題（または「リスト内の注文の維持」）は、操作をサポートすることです。 singleton：1つのアイテムでリストを作成し、そのポインターを返します insertAfter：アイテムへのポインターを指定すると、そのアイテムの後に新しいアイテムを挿入し、新しいアイテムへのポインターを返します delete：アイテムへのポインタを指定すると、リストから削除します minPointer：同じリスト内のアイテムへの2つのポインターを指定すると、リストの先頭に近い方を返します 私は、償却時間ですべての操作を実行するこの問題に対する3つの解決策を知っています。それらはすべて乗算を使用します。O （1 ）O（1）O(1) Athanasios K. Tsakalidis：一般化リンクリストでの順序の維持 Dietz、P.、D. Sleator、リスト内の順序を維持するための2つのアルゴリズム Michael A. Bender、Richard Cole、Erik D. Demaine、Martin Farach-Colton、およびJack Zito、「リスト内の順序を維持するための2つの簡略化されたアルゴリズム」 A C 0にない算術演算を使用せずに、償却時間のリストで順序を維持できますか？O （1 ）O（1）O(1)A C0AC0AC^0
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この論文の下限証明は正しいですか？
で、この論文のErik D. Demaine、サンドールP. Fekete、ロバート・J・ラングによる「サークル折り紙デザインされたハード用パッキン」に、15ページ、図13に、彼らは二つの円を囲む最小の正方形の辺の長さを主張します面積1/2のそれぞれは1.471299です。私の計算では、辺の長さ1.362と面積1.855を取得しています。間違いをしたことがありますか、それとも論文に間違いがありますか？
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多面体のLöwner-John楕円体の計算
凸集合のLöwner-John楕円体は、それを囲む最小体積楕円体（MVE）です。楕円体はKhachiyanの方法を使用して計算でき、Cが点の集合（の凸包）である場合に利用できる近似がいくつかあります。CCCCCC 交点がそれを定義する半平面の観点からのみ提示された有界多面体のMVEへの高速（すなわち非楕円体法ベース）近似はありますか？特に、次元と逆誤差時間多項式で実行される方法に興味があります。1 / ε1/ε1/\varepsilon
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前処理された多面体と平面の分離
多面体の分離に関するドブキンとカークパトリックの論文の1つのステップを理解するのは深刻な問題です。このバージョンを理解しようとしています：http : //www.cs.princeton.edu/~dpd/Papers/SCG-09-invited/old%20papers/DPD+Kirk.pdf r iとs iによって実現されるPiP_{i}との最適な分離を知った後、O （1 ）ステップでP i − 1とSの最適な分離を見つけることができると主張します。これは次の方法で行われます。r iを介してSに平行な平面を取り、P i − 1を2つの部分に切断します。一方では、Sに最も近い点はr iSSrir_isis_iPi−1P_{i-1}SSO(1)O(1)SSrir_iPi−1P_{i-1}SSrir_iもう一方には、時間でチェックできる「基本」多面体があります。私の問題は、この基本的な多面体をどのように見つけるかということです。度という注意のR IにおけるP I - 1は無制限であるかもしれません。O(1)O(1)rir_iPi−1P_{i-1} 9ページのThm 5.1を証明するpdfでは、4ページのThm 3.1を使用しているため、全体の理解が難しくなっています。
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平面点のセットの三角形分割の数：なぜそんなに難しいのですか？
Emo Welzlがこの夏にこのテーマについて話すのを聞いた後、平面内の点のセットの三角形分割の数が約Ω （8.48 n）とO （30 n）の間にあることがわかります。古くなった場合はおApびします。アップデートを歓迎します。nnnΩ （ 8.48n）Ω（8.48n）\Omega(8.48^n)O （ 30n）O（30n）O(30^n) 私はこれをクラスで言及し、簡潔な賢明な発言でフォローアップして、学生に（a）この量を特定するのが非常に困難であることが証明された理由、および（b）それを特定することに非常に多くの注意を払う理由を学生に伝えたいと思いました。どちらの問題も明らかにするのに十分な答えがなかったことがわかりました。私の賢さのためにそんなに！ これらの明らかに曖昧な質問に対するあなたの理解に感謝します。ありがとう！
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太ったものの交差点を介した平面グラフ？
Koebeの美しい定理（ここを参照）には、平面グラフをディスクのキスグラフとして描画できることが記載されています（非常にロマンチックです...）。（多少異なって言えば、平面グラフはディスクの交差グラフとして描画できます。） Koebe定理は証明するのが非常に簡単ではありません。私の質問：この定理の簡単なバージョンでは、ディスクの代わりに太い凸形状を使用することが許可されていますか？すべての頂点が異なる形状になる可能性があることに注意してください。 ありがとう... 明確化：形状場合、R （X ）をXの最小の囲みボールの半径とし、r （X ）をSの最大の囲みボールの半径とします。形状Sはあるα -fat場合にR （X ）/ R （X ）≤ α。（これが肥満の唯一の定義ではありません、ところで。）XXXR(X)R(X)R(X)XXXr(X)r(X)r(X)SSSSSSαα\alphaR(x)/r(x)≤αR(x)/r(x)≤αR(x) /r(x) \leq \alpha
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