限られた直径の最大点のセットを見つける

所与の点におけるRのD及び距離Lは、それらのどの2つのユークリッド距離を超えるように、これらの点の最大の部分集合を見つけるリットル。$p_1,\ldots,p_n$$\mathbb{R}^{d}$$l$$l$

この問題の複雑さは何ですか？

2つのポイントの距離が最大である場合は常にエッジを持つポイント上のグラフでは、問題は最大クリークを見つけることに相当します。必ずしもすべてのグラフは（例は星であるこの方法で得ることができるので、逆は成り立たないかもしれK 1 、7のためにD = 2）。したがって、関連する質問は、このクラスのグラフについて何が知られているのかということです。$l$$K_{1,7}$$d=2$

ありますのジェフ・エリクソンとの私の論文では、この問題の二次元のバージョンのための時間アルゴリズム、「反復最も近い隣人と最小限のポリトープを見つけること」、ディスクが。比較 Geom。11：321-350、1994。実際、この論文は主に二重の問題に注目しています。サブセット内のポイントの数を考えて、可能な限り小さい直径を見つけます。ただし、サブルーチンとして記述した問題を使用します。少なくともそれを書いた時点では、高次元の部分指数関数は何も知りませんでした（ただし、サブセットにk個の点しかない場合、指数部はnではなくkに依存させることができます）$O(n^3\log n)$$k$$k$$n$ 同じ論文の技術を使用して）。

直径が最大の最小サブセットに関心がある場合、近似は非常に簡単です。グリッドを使用した線形時間アルゴリズムは、今では「標準」です。定数は、おそらくのようなものになるだろう2 O （1 / ε D）。$(1+\epsilon)l$$2^{O(1/\epsilon^d)}$

kポイントを含む最小のボールを見つける作業がいくつかありますが、直径の問題は本質的に困難です。理由を確認するための適切な出発点は、直径を3Dで計算するためのClarkson-Shor論文です。

ところで、高次元の場合、ボールの問題は、コアセットを使用して（ただし次元ではなく！）、（または同様のノイズ）で時間指数関数で近似できます。私はこのアプローチがこの問題に拡張できることを疑いますが、間違っているかもしれません。 $O(1/\epsilon^2)$