2D長方形の色付け問題の定数因子近似アルゴリズムはありますか？

ここで考慮している問題は、よく知られている間隔カラーリング問題の拡張です。間隔の代わりに、辺が軸に平行な長方形を考えます。目的は、重複する2つの長方形に異なる色が割り当てられるように、最小数の色を使用して長方形に色を付けることです。

この問題はNP困難であることが知られています。Xin Han、Iwama Kazo、Rolf Klein、Andrezej Lingas（ボックスグラフ上の最大独立セットと最小頂点カラーリングの近似）は、O（log n）近似を与えました。より良い近似アルゴリズムはありますか？

区間の色付けの問題は、左端に応じて区間を考慮することにより、最初に適合したアルゴリズムによって多項式時間で解かれることがわかっています。ただし、間隔が任意の順序で表示される場合、ファーストフィットオンラインアルゴリズムは8競争力があります。

長方形の色付け問題に対する最適アルゴリズムのパフォーマンスはどうですか？長方形が左（垂直）辺に従って表示されると、最初に適合するアルゴリズムはどうなりますか？

これに関する助けを事前に感謝します。

他の回答で示唆されているように、$\Omega(\log n)$下限は見にくいものではありません。水平線を使用して下から上へスイープします。アイデアは、ますます多くの色を必要とするコンポーネントを構築することです。特に、$C(i)$を色$i$上部長方形を持つガジェットとします（つまり、最初の適合により色$i$が割り当てられます）。明らかに、$C(1)$は単一の長方形です。コンポーネント$C(2)$は

$C(k)$$C(1), \ldots, C(k-1)$

$k$$C(k)$$C(k)$$2$$C(k)$$2^{O(k)}$$\Omega( \log n )$

$O( \log n)$

私の知る限り、これは知られていない。Asplund and Grunbaum（1960ish）の古い論文は、クリーク数が2の場合、色数は最大で6であることを示しています（これは厳密です）。ツリーは長方形の交差グラフで表すことができ、ツリーは任意のオンラインアルゴリズムでlog n色を必要とするため、初回適合のギャップが定数よりも大きい例を簡単に思いつくと思います。

Asplund、Grunbaum、またはそれ以降の論文は、長方形の交差グラフの色数が最大でO（k ^ 2）であることも示していると思います。ただし、kは最大クリークのサイズです。 k個の色で線形以上を必要とする例。