太ったものの交差点を介した平面グラフ？

Koebeの美しい定理（ここを参照）には、平面グラフをディスクのキスグラフとして描画できることが記載されています（非常にロマンチックです...）。（多少異なって言えば、平面グラフはディスクの交差グラフとして描画できます。）

Koebe定理は証明するのが非常に簡単ではありません。私の質問：この定理の簡単なバージョンでは、ディスクの代わりに太い凸形状を使用することが許可されていますか？すべての頂点が異なる形状になる可能性があることに注意してください。

ありがとう...

明確化：形状場合、R （X ）をXの最小の囲みボールの半径とし、r （X ）をSの最大の囲みボールの半径とします。形状Sはあるα -fat場合にR （X ）/ R （X ）≤ α。（これが肥満の唯一の定義ではありません、ところで。）$X$$R(X)$$X$$r(X)$$S$$S$$\alpha$$R(x) /r(x) \leq \alpha$

太ったオブジェクトを2次元にする必要があるとは言いませんでしたか？フェルスナーとフランシスは、3dの軸平行キューブで常に可能であることを証明しています。しかし、この証明には、シュラムのコーベ・サーストン・アンドレーエフの一般化が関係しているため、正確な結果ではありません。また、4つの連結された最大平面グラフの場合、平行辺の正三角形を使用できることにも言及しています。

三角形を使用する場合、実行できます。たぶんKoebeよりも簡単ではない...

デ・フレイセイクス、オッソナ・デ・メンデス、ローゼンシュティール。三角形の接触グラフについて。CPC 3（2）：233-246、1994。

Schrammは、すべての平面グラフが、博士論文での平面内の滑らかな凸状オブジェクトのセットの接触グラフであることを証明しました（Princeton、1990） Brouwerの固定小数点定理を使用。

このことやKoebeの定理に関連する他の結果の良い調査は、Sachsによる調査です。

私たちが知っていることの1つは、長方形でKoebeの定理を再現できないことです。長方形の接触グラフはキャプチャできません。$K_4$

ダンカン、ガンズナー、胡、カウフマン、コボロフによるコンタクトグラフ表現に関するarxivに関する新しい論文があります。彼らは、6辺のポリゴンが必要かつ十分であることを示しています。六角形は凸型でもかまいませんが、最初に読んだとき、それらが太っていたかどうかははっきりしませんでした。

でゲルト・ウェグナーの彼の博士論文（ゲオルクアウグスト・理学部、ゲッティンゲン、1967）は、任意のグラフは、3次元凸多面体の集合の接触グラフであることを証明した（彼はGrünbaumへの結果の最初の未発表の証拠をクレジット）。これは簡単な証拠です。