「鋭い」頂点がほとんどないグラフを描画しますか？

直線エッジを持つ平面上の平面グラフの平面埋め込みの場合、周囲の2つの連続するエッジ間の最大角度が180を超える場合、頂点を鋭い頂点として定義します。その頂点に入射するすべてのエッジが線の片側にあるような埋め込みの頂点。頂点は「シャープ」であり、そうでない場合はそうではありません。また、次数が3以上の頂点のみについて心配します。

鋭い頂点がほとんどない平面グラフを描きたい。誰もそのような図面を以前に勉強したことがありますか？

特に、埋め込みの次数3の鋭い頂点の数があり、頂点の座標が多項式のビット数で書き込めるように、最大​​次数3の平面グラフを描画します。$O(\log n)$

Google Scholarに時間を費やした後、次のことがわかります。

私の頂点の鋭さの尺度は、角度研究と呼ばれる既に研究された概念に関連しています。ウィキペディアから：

グラフの描画の角度分解能は、描画の共通の頂点で交わる2つのエッジによって形成される最も鋭い角度を指します。

したがって、角度分解能次数3の頂点を持つ平面描画は、私の目的に適しています。$\pi/2$

度の頂点の図に、その周りに角度分解能は、最大であることができる2 π / D。$d$$2\pi/d$

これがきついかどうかの問題は過去に研究されてきましたが、漸近的な結果しか見つけることができません。例えば、MalitzおよびPapakostasを証明する最大次数を有する任意の平面グラフことの角度解像度で描画することができますα D。しかし、この結果は、d = 3の場合に適切な境界を与えません。$d$$\alpha^d$$d=3$

$\Theta(n)$

一方、より高いレベルの接続が必要な場合は、多くの鋭い頂点を避けることができます。特に、3連結平面グラフがある場合、すべての面が凸になるように（たとえば、Steinitzの定理を使用して多面体表現を見つけて透視投影を形成することにより）描画できます。鋭い外面。しかし、すべての3連結平面グラフは、外面に最大5つの頂点（最悪の場合は12面体）を持つように埋め込むことができるため、すべての3連結平面グラフ（3正規または非正規）を次のように描画できます。ほとんどの5つの鋭い頂点。